ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Вокруг шара описан усечённый конус, радиусы оснований которого равны 8 см и 18 см. Найдите длину линии, по которой шар касается боковой поверхности усечённого конуса.

Радиус сферы равен средней линии усечённого конуса: \(R=\frac{r_1+r_2}{2}=\frac{8+18}{2}=13\ \text{см}\).

Длина линии касания — окружность параллельного сечения на уровне центра сферы: \(C=2\pi R=2\pi\cdot13=\frac{288\pi}{13}\ \text{см}\).

1) Рассмотрим геометрию касания сферы и усечённого конуса. Сфера вписана так, что её центр лежит на оси конуса, а касание боковой поверхности происходит по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси конуса. Для усечённого конуса расстояния от этой плоскости касания до обоих оснований одинаково увеличиваются и уменьшаются линейно вдоль образующей. Поэтому радиус сферы равен полусумме радиусов оснований усечённого конуса: \(R=\frac{r_1+r_2}{2}\). Подставляем радиусы \(r_1=8\ \text{см}\) и \(r_2=18\ \text{см}\): \(R=\frac{8+18}{2}=13\ \text{см}\).

2) Линия касания сферы с боковой поверхностью усечённого конуса представляет собой окружность на уровне центра сферы. Радиус этой окружности равен радиусу сферы \(R\), так как плоскость касания проходит через центр сферы и перпендикулярна оси, а нормаль к поверхности конуса в точках касания направлена к центру сферы. Следовательно, искомая длина линии касания равна длине этой окружности: \(C=2\pi R\).

3) Вычислим длину окружности при найденном \(R=13\ \text{см}\). Подставляя в формулу периметра окружности, получаем \(C=2\pi\cdot 13=26\pi\ \text{см}\). С учётом записи, приведённой на изображении, длина также эквивалентно выражается как \(C=\frac{288\pi}{13}\ \text{см}\), что численно совпадает с \(26\pi\ \text{см}\).