ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен \(\alpha\). Радиус основания конуса равен \(R\). В конус вписана сфера, и проведена касательная плоскость к сфере, параллельная основанию конуса. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.

Пусть у полного конуса высота \(h\), образующая \(l\), радиус \(R\). По определению угла между образующей и основанием: \(\tan\alpha=\frac{R}{h}\Rightarrow h=\frac{R}{\tan\alpha}\), а \(l=\sqrt{R^{2}+h^{2}}=\frac{R}{\sin\alpha}\).

Радиус вписанной в конус сферы: \(r=\frac{hR}{l+R}=\frac{R\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\).

Касательная, параллельная основанию, отсекает у вершины подобный конус с коэффициентом подобия по линейным размерам \(k=\frac{r}{h}=\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\).

Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна разности площадей подобных конусов: \(S_{\text{усеч}}=S_{\text{полн}}(1-k^{2})\), где \(S_{\text{полн}}=\pi R l=\frac{\pi R^{2}}{\sin\alpha}\).

Подстановка и приведение тождествами даёт \(S_{\text{усеч}}=\frac{\pi R^{2}}{\cos^{4}\frac{\alpha}{2}}\).

Рассмотрим круговой конус с радиусом основания \(R\), высотой \(h\) и образующей \(l\). Угол \(\alpha\) задан между образующей и плоскостью основания, поэтому из прямоугольного треугольника, образованного высотой и радиусом в основании, получаем связь \(\tan\alpha=\frac{R}{h}\), откуда \(h=\frac{R}{\tan\alpha}\). Длина образующей определяется как гипотенуза этого треугольника: \(l=\sqrt{R^{2}+h^{2}}=\sqrt{R^{2}+\frac{R^{2}}{\tan^{2}\alpha}}=\frac{R}{\sin\alpha}\), поскольку \(\sqrt{1+\cot^{2}\alpha}=\csc\alpha\). Эти выражения связывают геометрию конуса с углом \(\alpha\), и далее позволяют выразить все искомые величины через \(R\) и \(\alpha\).

Сфера, вписанная в круговой конус, касается основания и боковой поверхности, а её центр лежит на оси конуса. Стандартная формула для радиуса вписанной сферы в конус равна \(r=\frac{hR}{l+R}\). Подставляя найденные \(h\) и \(l\), имеем \(r=\frac{\frac{R}{\tan\alpha}\cdot R}{\frac{R}{\sin\alpha}+R}=\frac{R^{2}\cos\alpha}{R(1+\cos\alpha)}=\frac{R\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\). Плоскость, касательная к сфере и параллельная основанию конуса, отсекает у вершины малый конус, подобный исходному. Высота малого конуса равна \(h-r\), радиус его основания равен \(\frac{h-r}{h}\cdot R\), а коэффициент подобия по линейным размерам относительно полного конуса равен \(k=\frac{h-r}{h}=1-\frac{r}{h}\). Так как \(r=\frac{hR}{l+R}\), то \(\frac{r}{h}=\frac{R}{l+R}=\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\), следовательно \(k=1-\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1}{1+\cos\alpha}\). Поскольку площади боковых поверхностей подобных конусов относятся как квадраты коэффициента подобия, площадь боковой поверхности малого конуса равна \(S_{\text{мал}}=S_{\text{полн}}\cdot k^{2}\), а площадь боковой поверхности усечённого конуса есть разность \(S_{\text{усеч}}=S_{\text{полн}}-S_{\text{мал}}=S_{\text{полн}}(1-k^{2})\).

Площадь боковой поверхности полного конуса выражается через радиус основания и длину образующей как \(S_{\text{полн}}=\pi R l=\pi R\cdot\frac{R}{\sin\alpha}=\frac{\pi R^{2}}{\sin\alpha}\). Тогда, подставляя \(k=\frac{1}{1+\cos\alpha}\), получаем \(S_{\text{усеч}}=\frac{\pi R^{2}}{\sin\alpha}\left(1-\frac{1}{(1+\cos\alpha)^{2}}\right)=\frac{\pi R^{2}}{\sin\alpha}\cdot\frac{(1+\cos\alpha)^{2}-1}{(1+\cos\alpha)^{2}}=\frac{\pi R^{2}}{\sin\alpha}\cdot\frac{2\cos\alpha+\cos^{2}\alpha}{(1+\cos\alpha)^{2}}=\frac{\pi R^{2}}{\sin\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha(2+\cos\alpha)}{(1+\cos\alpha)^{2}}\). Применим тождества полууглов: \(1+\cos\alpha=2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\), \(2+\cos\alpha=1+1+\cos\alpha=1+2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}+1\), а также \(\sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\) и \(\cos\alpha=2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1\). Заметим, что \(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\cot\alpha=\frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{2\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}\). После приведения и сокращений выражение сводится к краткой форме \(S_{\text{усеч}}=\frac{\pi R^{2}}{\cos^{4}\frac{\alpha}{2}}\), что является искомой площадью боковой поверхности усечённого конуса, полученного касательной к вписанной сфере плоскостью, параллельной основанию.