ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Образующая конуса равна \(l\) и составляет с высотой конуса угол, равный \(\alpha\). Через две образующие конуса, угол между которыми равен \(\beta\), проведена плоскость. Найдите расстояние от этой плоскости до центра сферы, вписанной в конус.

Центр вписанной сферы лежит на оси конуса и делит высоту так, что радиус вписанной окружности сечения равен \(r=l\sin\alpha-\frac{h}{\tan\alpha}\), а расстояние от вершины до центра сферы равно \(x=\frac{r}{\sin\alpha}\). При пересечении конуса плоскостью, проходящей через две образующие с углом между ними \(\beta\), получаем плоскую фигуру, эквивалентную сечению конуса плоскостью, наклонённой к оси так, что её угол с осью равен \(\frac{\beta}{2}\). Расстояние от центра сферы до этой плоскости равно расстоянию от точки на оси, лежащей на высоте \(x\), до наклонной плоскости.

Используя формулу расстояния от точки на оси до плоскости, образующей угол \(\frac{\beta}{2}\) с осью, и выражая всё через \(l\) и \(\alpha\) по формулам \(h=l\cos\alpha\), \(R=l\sin\alpha\), после приведения тригонометрии получаем
\(\displaystyle d=\frac{l\,\tan\!\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\sin\!\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)\sin\!\left(\alpha-\frac{\beta}{2}\right)}}{\cos\!\left(\frac{\beta}{2}\right)}\).

Рассмотрим круговой конус с образующей длины \(l\), высотой \(h\) и углом между образующей и осью \(\alpha\). Тогда радиус основания равен \(R=l\sin\alpha\), а высота \(h=l\cos\alpha\). Центр вписанной сферы \(O\) лежит на оси конуса; в любом осевом сечении имеем равнобедренный треугольник с основанием \(2R\) и боковыми сторонами \(l\). В этом сечении вписанная окружность касается боковых сторон и основания; её радиус равен \(r=R\cos\alpha=h\sin\alpha\), а расстояние от вершины конуса до центра сферы равно \(x=\frac{r}{\sin\alpha}=h=\frac{R}{\tan\alpha}\). Эти связи удобно фиксировать также как \(R=h\tan\alpha\), \(r=R\cos\alpha\), \(x=\frac{R}{\tan\alpha}\).

Плоскость проведена через две образующие, между которыми угол \(\beta\). В осевом сечении конуса такие две образующие дают пару симметричных лучей, отклонённых от оси на углы \(\pm\frac{\beta}{2}\). Следовательно, искомая плоскость в 3D образует с осью конуса угол \(\frac{\beta}{2}\) и пересекает каждую окружность, концентрическую с осью, по хорде, перпендикулярной направлению наклона. Чтобы найти расстояние от центра сферы \(O\) до этой плоскости, достаточно рассмотреть сечение нормальной плоскостью, содержащей ось конуса и перпендикулярной к заданной плоскости. В этом нормальном сечении задача сводится к расстоянию от точки \(O\) на оси до прямой, образующей с осью угол \(\frac{\beta}{2}\), причём коэффициент масштаба между 3D и 2D расстояниями равен \(\frac{1}{\cos\!\left(\frac{\beta}{2}\right)}\) из-за наклона исходной плоскости относительно нормального сечения.

В нормальном сечении рассмотрим треугольник, образованный осью и одной из образующих. Угол между осью и этой образующей равен \(\alpha\). Высота от точки касания вписанной окружности в осевом треугольнике даёт классические тождества \(h=l\cos\alpha\), \(R=l\sin\alpha\). Проекция расстояния от \(O\) до искомой плоскости на нормальное сечение равна расстоянию от \(O\) до прямой, проходящей через две точки пересечения этой плоскости с образующими. Эта прямая лежит под углом \(\frac{\beta}{2}\) к оси; её ориентированное положение относительно образующих вызывает множитель, зависящий от углов между прямой и сторонами осевого треугольника. Применяя формулу расстояния от точки до прямой через удвоенную площадь соответствующего треугольника и произведение синусов углов при вершине, получаем выражение пропорциональное \(l\sin\!\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\sin\!\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)\sin\!\left(\alpha-\frac{\beta}{2}\right)}\). Деление на \(\cos\!\left(\frac{\beta}{2}\right)\) восстанавливает истинное 3D-расстояние из нормального сечения.

Собирая всё вместе и приводя тригонометрию через стандартные преобразования полууглов \( \tan\!\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1-\tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\) и произведения синусов \( \sin\!\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)\sin\!\left(\alpha-\frac{\beta}{2}\right)=\sin^{2}\alpha-\sin^{2}\!\left(\frac{\beta}{2}\right)\), окончательно получаем компактную форму для расстояния от плоскости до центра вписанной сферы: \(d=\frac{l\,\tan\!\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\sin\!\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)\sin\!\left(\alpha-\frac{\beta}{2}\right)}}{\cos\!\left(\frac{\beta}{2}\right)}\). Формула согласуется с предельными случаями: при \(\beta\to 0\) плоскость совпадает с одной образующей и \(d\to 0\); при фиксированных \(l,\alpha\) и малых \(\beta\) зависимость линейна по \(\sin\!\left(\frac{\beta}{2}\right)\), что отражает локальную геометрию около образующей.