ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиус основания конуса равен 3 см. Центры двух равных сфер радиуса \(\sqrt{2}\) см принадлежат высоте конуса. Первая сфера касается основания конуса, а вторая — касается первой сферы и всех образующих конуса. Найдите высоту конуса.

Центры сфер на оси конуса. Первая сфера радиуса \(r=\sqrt{2}\) касается основания, её центр на высоте \(r\). Вторая сфера касается первой, значит расстояние между центрами \(2r\), поэтому высота центра второй сферы \(z=3r=3\sqrt{2}\).

Рассмотрим меридиональное сечение: образующая — прямая через \((R,0)\) и \((0,H)\), где \(R=3\). Расстояние от точки \((0,z)\) до этой прямой равно радиусу второй сферы \(r\): \(\frac{Rz}{\sqrt{R^{2}+H^{2}}}=r\). Подставляя \(R=3\), \(z=3\sqrt{2}\), \(r=\sqrt{2}\), получаем \(\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{9+H^{2}}}=\sqrt{2}\), откуда \(\sqrt{9+H^{2}}=9\), затем \(H^{2}=72\) и \(H=6\sqrt{2}\).

Ответ: \(6\sqrt{2}\) см.

Даны параметры конуса и сфер: радиус основания конуса \(R=3\) см и радиус обеих равных сфер \(r=\sqrt{2}\) см. Центры сфер лежат на оси конуса. Первая сфера касается основания, следовательно, её центр находится на оси на высоте \(r\) от плоскости основания. Вторая сфера касается первой и всех образующих конуса; это означает, что её центр также на оси, а геометрически она вписана в боковую поверхность конуса (одинаково удалена от любой образующей). Из условия касания второй сферы с первой следует, что расстояние между центрами равно \(2r\). Поскольку центр первой сферы на высоте \(r\), то центр второй находится на высоте \(z\), удовлетворяющей \(z-r=2r\), откуда \(z=3r=3\sqrt{2}\) см. Таким образом, положение центров полностью определено: первая на высоте \(r\), вторая на высоте \(z=3r\).

Далее используем меридиональное сечение конуса плоскостью, содержащей ось. В этом сечении конус задаётся равнобедренным треугольником с вершиной на высоте \(H\) и основанием ширины \(2R\), так что полуширина равна \(R=3\). Образующая в этом сечении — прямая, проходящая через точки \((\rho,z)=(R,0)\) и \((0,H)\), с направляющим вектором \((-R,H)\). Точка \((0,z)\) — это проекция центра второй сферы на сечение. Условие касания сферы со всеми образующими означает, что кратчайшее расстояние от её центра до любой образующей равно \(r\). В осесимметрии достаточно потребовать расстояние от \((0,z)\) до выбранной образующей в сечении равно \(r\). Формула расстояния от точки до прямой, заданной точкой \((R,0)\) и направляющим вектором \((-R,H)\), даёт \(d=\frac{\left\|((0,z)-(R,0))\times(-R,H)\right\|}{\sqrt{(-R)^{2}+H^{2}}}=\frac{|Rz|}{\sqrt{R^{2}+H^{2}}}\). При \(\rho=0\) ориентация знака несущественна, поэтому модуль снимается после подстановки положительных величин, и условие касания принимает вид \(\frac{Rz}{\sqrt{R^{2}+H^{2}}}=r\).

Подставим известные значения \(R=3\), \(z=3r=3\sqrt{2}\) и \(r=\sqrt{2}\) в уравнение \(\frac{Rz}{\sqrt{R^{2}+H^{2}}}=r\). Получаем \(\frac{3\cdot 3\sqrt{2}}{\sqrt{3^{2}+H^{2}}}=\sqrt{2}\), то есть \(\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{9+H^{2}}}=\sqrt{2}\). Сокращая на \(\sqrt{2}\), имеем \(\frac{9}{\sqrt{9+H^{2}}}=1\), откуда \(\sqrt{9+H^{2}}=9\). Возводя в квадрат, находим \(H^{2}=9^{2}-9=81-9=72\), следовательно, \(H=6\sqrt{2}\) см.

Ответ: \(6\sqrt{2}\) см.