ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник. Внутри конуса расположены три равные сферы радиусом 1 см. Каждая сфера касается двух других, основания конуса и образующей конуса. Найдите радиус основания конуса.

Пусть центры сфер проецируются на осевое сечение (равносторонний треугольник). В сечении получаем три равные окружности радиуса \(r=1\), каждая касается двух других, основания и боковой стороны.

По горизонтали между центрами соседних окружностей расстояние \(2r\), а от крайнего центра до боковой стороны из-за касания откладывается ещё \(r\). Тогда сторона равностороннего треугольника осевого сечения равна \(2r+2r+r=5r\).

Радиус основания конуса равен половине стороны осевого сечения: \(R=\frac{5r}{\sqrt{3}}\). При \(r=1\) получаем \(R=\frac{5\sqrt{3}}{3}\) см.

Рассмотрим осевое сечение кругового конуса плоскостью, проходящей через ось. Это сечение есть равнобедренный треугольник; при правильной укладке равных сфер вдоль образующей его можно рассматривать как равносторонний в метрике касаний: в сечении три сферы дают три равные окружности радиуса \(r=1\), каждая из которых касается двух других окружностей, прямой, изображающей основание, и наклонной стороны, изображающей образующую. Центры этих окружностей лежат на линии, параллельной основанию, и их касания фиксируют расстояния вдоль основания и к боковой стороне. Так как окружности попарно касаются, расстояние между центрами соседних окружностей по горизонтали равно \(2r\). Кроме того, крайняя окружность касается боковой стороны, а это означает, что от ее центра до боковой стороны по перпендикуляру откладывается ровно \(r\); в проекции на горизонтальное направление это добавляет еще один шаг длины \(r\) к суммарной проекции между крайней точкой касания и вертикальной проекцией центра крайней окружности.

Соберем все отрезки вдоль основания в осевом сечении. От левого касания первой окружности с боковой стороной до ее центра по горизонтали откладывается \(r\), затем между центрами первой и второй окружностей находится отрезок длины \(2r\), и между центрами второй и третьей окружностей — еще \(2r\). Суммарно вдоль основания осевого сечения получаем длину \(r+2r+2r=5r\). Эта длина и есть сторона рассматриваемого треугольника осевого сечения, поскольку крайние точки соответствуют касаниям с боковыми сторонами, а линия основания — общий касательный отрезок ко всем трем окружностям. Таким образом, сторона осевого треугольника равна \(5r\).

Теперь свяжем сторону осевого сечения с радиусом основания конуса. В осевом сечении высота конуса опускается из вершины на середину основания треугольника, деля равнобедренный (и в нашем положении эквивалентно равносторонний по длинам проекций касаний) треугольник на два прямоугольных треугольника. Половина стороны основания осевого треугольника равна радиусу основания конуса \(R\). Для равностороннего треугольника со стороной \(a\) высота равна \(a\frac{\sqrt{3}}{2}\), а радиус описанной окружности равен \(a\frac{\sqrt{3}}{3}\); в осевом сечении радиус основания конуса \(R\) равен половине стороны при пересчете из равносторонней геометрии касаний: \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\). Подставляя найденную сторону \(a=5r\), получаем \(R=\frac{5r}{\sqrt{3}}\).

Подставляя \(r=1\), окончательно имеем \(R=\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\) см. Эта величина согласуется с тем, что три одинаковые окружности радиуса 1 в осевом сечении укладываются последовательно между двумя образующими и основанием, давая горизонтальную суммарную проекцию длиной \(5\), а перевод в радиус конуса производится коэффициентом \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), отражающим соотношение между стороной и радиусом в соответствующем треугольнике с углами \(60^{\circ}\), \(60^{\circ}\), \(60^{\circ}\).