ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В конус с радиусом основания, равным \(R\), вписана сфера радиусом \(r\). Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая вписанную сферу. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью, если известно, что эта площадь принимает наибольшее значение.

Пусть у правого кругового конуса радиус основания \(R\), высота \(h\), образующая \(l=\sqrt{R^{2}+h^{2}}\), а радиус вписанной сферы \(r\). Для конуса верно \(r=\frac{R\,h}{R+l}\), откуда из системы \(l=\sqrt{R^{2}+h^{2}}\), \(r=\frac{R\,h}{R+l}\) получаем \(h=\frac{R^{2}-r^{2}}{R}\) и \(l=\frac{R^{2}+r^{2}}{R}\). Пусть секущая плоскость проходит через вершину под углом \(\theta\) к оси. Тогда площадь треугольного сечения равна \(S(\theta)=\frac{Rh}{1-(\tan\alpha\tan\theta)^{2}}\), где \(\tan\alpha=\frac{R}{h}=\frac{R^{2}}{R^{2}-r^{2}}\).

Ограничение на \(\theta\) задаёт условие касания с вписанной сферой: в осевом сечении центр окружности радиуса \(r\) находится на расстоянии \(x=\frac{Rh}{R+r}\) от вершины, и касание даёт \(x\sin\theta=r\), то есть \(\sin\theta=\frac{r(R+r)}{R^{2}-r^{2}}\). Отсюда \(\tan^{2}\theta=\frac{\sin^{2}\theta}{1-\sin^{2}\theta}=\frac{r^{2}(R+r)^{2}}{(R^{2}-r^{2})^{2}-r^{2}(R+r)^{2}}\). Подстановка в \(S(\theta)\) и учёт геометрического ограничения \(|\tan\alpha\tan\theta|<1\) дают два режима.

Если \(\tan\alpha\tan\theta<1\) реализуется при касании, что эквивалентно \(R\le(1+\sqrt{2})r\), то максимум достигается в точке касания и \(S_{\max}=\frac{2rR^{3}}{R^{2}-r^{2}}\). Если же \(R>(1+\sqrt{2})r\), то секущая раньше упирается в край основания, и на границе \(|\tan\alpha\tan\theta|\to 1\) получаем \(S_{\max}=\frac{R^{2}(R^{2}+r^{2})^{2}}{2(R^{2}-r^{2})^{2}}\).

Рассмотрим осевое сечение правого кругового конуса с радиусом основания \(R\) и высотой \(h\): получаем равнобедренный треугольник с основанием \(2R\), вершиной при угле \(2\alpha\), где \(\tan\alpha=\frac{R}{h}\), а образующая равна \(l=\sqrt{R^{2}+h^{2}}\). Вписанная сфера конуса имеет центр на оси на расстоянии \(x\) от вершины и радиус \(r\), при этом выполняются условия касания сферы к основанию и к боковой поверхности. Для правого кругового конуса известна связь \(r=\frac{R\,h}{R+l}\), откуда можно выразить \(h\) и \(l\) через \(R\) и \(r\): из системы \(l=\sqrt{R^{2}+h^{2}}\) и \(r=\frac{R\,h}{R+\sqrt{R^{2}+h^{2}}}\) следует \(h=\frac{R^{2}-r^{2}}{R}\) и \(l=\frac{R^{2}+r^{2}}{R}\). Таким образом, все геометрические величины осевого треугольника выражаются только через \(R\) и \(r\), что позволяет максимизировать площадь искомого сечения без введения лишних параметров.

Любая плоскость, проходящая через вершину конуса, задается в осевом сечении прямой, проходящей через вершину треугольника под углом \(\theta\) к его оси. Пересечение этой прямой с треугольником дает отрезок, концы которого лежат на образующих, а его длина равна \(AB\). Площадь соответствующего плоского сечения конуса равна площади треугольника с вершиной в вершине конуса и основанием \(AB\), то есть \(S=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot d\), где \(d\) — расстояние от вершины до точки пересечения перпендикуляра к \(AB\) в плоскости сечения; эквивалентно можно записать \(S=\frac{1}{2} a b \sin\phi\), где \(a\) и \(b\) — отрезки образующих, отсекаемые секущей, а \(\phi\) — угол между образующими. Для равнобедренного осевого треугольника удобно параметризовать секущую углом \(\theta\) к оси: тогда пересечения с левой и правой образующими дают \(a=\frac{l}{1+\tan\alpha\tan\theta}\) и \(b=\frac{l}{1-\tan\alpha\tan\theta}\), а угол между образующими постоянен и равен \(2\alpha\), так что \(\sin\phi=\sin(2\alpha)=\frac{2Rh}{R^{2}+h^{2}}=\frac{2Rh}{l^{2}}\). Подставляя, получаем функцию площади в виде \(S(\theta)=\frac{1}{2} \cdot \frac{l^{2}}{1-(\tan\alpha\tan\theta)^{2}} \cdot \frac{2Rh}{l^{2}}=\frac{Rh}{1-(\tan\alpha\tan\theta)^{2}}\).

Ограничение на допустимые \(\theta\) дается условием пересечения плоскости со вписанной сферой. В осевом сечении сфера переходит в окружность радиуса \(r\) с центром на оси на расстоянии \(x=\frac{Rh}{R+r}\) от вершины. Условие, что секущая плоскость проходит через вершину и пересекает сферу, означает, что соответствующая прямая на плоскости осевого сечения проходит через вершину и касается или пересекает окружность радиуса \(r\). Максимум площади при фиксированном факте пересечения достигается на границе допустимого множества, то есть при касании этой окружности. Условие касания для прямой через вершину с углом \(\theta\) к оси есть равенство расстояния от центра окружности до прямой и \(r\). Записывая прямую через вершину как \(y=\tan\theta\cdot x\) в координатах осевого сечения, где ось \(x\) — ось конуса, центр окружности \((x,0)\) с \(x=\frac{Rh}{R+r}\), получаем расстояние \(d=x\sin\theta\). Условие касания даёт \(x\sin\theta=r\), откуда \(\sin\theta=\frac{r}{x}=\frac{r(R+r)}{Rh}\). Это задаёт два режима в зависимости от того, допускает ли геометрия касание до выхода секущей к основанию.

Подставляя \(h=\frac{R^{2}-r^{2}}{R}\), \(l=\frac{R^{2}+r^{2}}{R}\) и \(\tan\alpha=\frac{R}{h}=\frac{R^{2}}{R^{2}-r^{2}}\), выражаем \(S(\theta)=\frac{Rh}{1-(\tan\alpha\tan\theta)^{2}}=\frac{R\cdot \frac{R^{2}-r^{2}}{R}}{1-\left(\frac{R^{2}}{R^{2}-r^{2}}\tan\theta\right)^{2}}=\frac{R^{2}-r^{2}}{1-\frac{R^{4}}{(R^{2}-r^{2})^{2}}\tan^{2}\theta}\). При касании \(\sin\theta=\frac{r(R+r)}{R h}=\frac{r(R+r)}{R\cdot \frac{R^{2}-r^{2}}{R}}=\frac{r(R+r)}{R^{2}-r^{2}}\). Отсюда \(\tan^{2}\theta=\frac{\sin^{2}\theta}{1-\sin^{2}\theta}=\frac{r^{2}(R+r)^{2}}{(R^{2}-r^{2})^{2}-r^{2}(R+r)^{2}}\). Подстановка в \(S(\theta)\) и упрощение дают два возможных режима в зависимости от ограничения \(|\tan\alpha\tan\theta|<1\): если касание достигается до выхода секущей к основанию, то максимум реализуется этим касанием и после сокращений получается \(S_{\max}=\frac{2rR^{3}}{R^{2}-r^{2}}\). Если же требуемый угол \(\theta\) слишком велик и секущая упирается в край основания раньше, то максимум достигается в пограничной конфигурации, когда секущая проходит через край основания, что эквивалентно \(|\tan\alpha\tan\theta|\to 1\); учитывая условие касания и предел, окончательная подстановка даёт \(S_{\max}=\frac{R^{2}(R^{2}+r^{2})^{2}}{2(R^{2}-r^{2})^{2}}\).

Граница между режимами определяется из неравенства достижимости касания до выхода к основанию: требуемый \(\theta\) допустим тогда, когда \(\tan\alpha\tan\theta<1\). С учетом \(\tan\alpha=\frac{R^{2}}{R^{2}-r^{2}}\) и найденной \(\sin\theta\) это условие эквивалентно \(R\le(1+\sqrt{2})r\). Отсюда итог: если \(r<R\le(1+\sqrt{2})r\), то \(S_{\max}=\frac{2rR^{3}}{R^{2}-r^{2}}\); если \(R>(1+\sqrt{2})r\), то \(S_{\max}=\frac{R^{2}(R^{2}+r^{2})^{2}}{2(R^{2}-r^{2})^{2}}\).