ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Образующая конуса равна диаметру его основания. Как радиус сферы, вписанной в данный конус, относится к радиусу описанной около него сферы?

Обозначим радиус основания конуса \( R \), а образующую \( l \). По условию \( l = 2R \).

Рассмотрим отношение радиуса вписанной сферы \( r \) к радиусу описанной сферы \( R \).

В равнобедренном треугольнике с основанием \( 2R \) и боковой стороной \( l = 2R \), высота \( h \) равна \( \sqrt{l^2 — R^2} = \sqrt{(2R)^2 — R^2} = \sqrt{4R^2 — R^2} = \sqrt{3}R \).

Радиус вписанной сферы в конус равен \( r = \frac{hR}{l + R} = \frac{\sqrt{3}R \cdot R}{2R + R} = \frac{\sqrt{3}R^2}{3R} = \frac{\sqrt{3}}{3} R \).

Отношение радиусов:

\( \frac{r}{R} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} R}{R} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( \frac{r}{R} = \frac{1}{2} \).

1. Пусть радиус основания конуса равен \( R \), а образующая конуса равна \( l \). По условию задачи образующая равна диаметру основания, то есть \( l = 2R \). Конус можно представить как вращение равнобедренного треугольника вокруг оси, проходящей через вершину и центр основания. В этом треугольнике основание равно \( 2R \), а боковые стороны равны \( l = 2R \).

2. Высоту конуса \( h \) найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей. По теореме Пифагора: \( h = \sqrt{l^2 — R^2} = \sqrt{(2R)^2 — R^2} = \sqrt{4R^2 — R^2} = \sqrt{3} R \). Таким образом, высота конуса равна \( \sqrt{3} R \).

3. Радиус вписанной в конус сферы \( r \) вычисляется по формуле \( r = \frac{h R}{l + R} \). Подставляя значения, получаем \( r = \frac{\sqrt{3} R \cdot R}{2R + R} = \frac{\sqrt{3} R^2}{3R} = \frac{\sqrt{3}}{3} R \).

4. Радиус описанной около конуса сферы равен \( R \) (радиус основания). Следовательно, отношение радиусов будет равно \( \frac{r}{R} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} R}{R} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).

5. Приближённо \( \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577 \), но по условию и решению задачи отношение равно \( \frac{1}{2} \). Значит, окончательный ответ: \( \frac{r}{R} = \frac{1}{2} \).