ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Угол между образующей конуса и его высотой равен \(45^\circ\), а расстояние от центра вписанного в конус шара до вершины конуса равно 4 см. Найдите радиус данного шара.

Пусть \(R\) — радиус вписанного шара. По условию угол между образующей и высотой равен \(45^\circ\), а расстояние от центра шара до вершины равно 4 см.

Так как угол \(45^\circ\), то радиус \(R\) связан с расстоянием от центра шара до вершины через синус или косинус этого угла:

\(R = 4 \cdot \sin 45^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\) см.

1. Рассмотрим конус с вершиной \(B\), высотой \(BO\) и радиусом вписанного шара \(R\). По условию угол между образующей конуса \(BC\) и высотой \(BO\) равен \(45^\circ\). Центр вписанного шара \(O\) лежит на высоте конуса, и расстояние от этого центра до вершины \(B\) равно 4 см. Нам нужно найти радиус \(R\) этого шара.

2. Поскольку угол между образующей и высотой равен \(45^\circ\), можно рассмотреть прямоугольный треугольник \(BOS\), где \(S\) — точка касания шара с основанием конуса. В этом треугольнике отрезок \(BO = 4\) см, а радиус \(R\) является проекцией отрезка \(BO\) на сторону основания, то есть \(R = BO \cdot \sin 45^\circ\). Значение синуса угла \(45^\circ\) известно и равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

3. Подставляя числовые значения, получаем \(R = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\) см. Таким образом, радиус вписанного шара равен \(2\sqrt{2}\) сантиметра. Это значение показывает, насколько велик шар, который можно вписать в данный конус с указанными параметрами.