ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В конус с образующей \(b\) и углом \(\alpha\) при вершине осевого сечения вписан шар. Найдите радиус шара.

Рассмотрим осевое сечение конуса с углом при вершине \(\alpha\) и образующей \(b\). Половина угла при вершине равна \(\frac{\alpha}{2}\).

Радиус вписанного шара равен произведению длины образующей \(b\), синуса половины угла \(\sin \frac{\alpha}{2}\) и тангенса угла \(45^\circ — \frac{\alpha}{4}\), то есть

\(R = b \sin \frac{\alpha}{2} \tan \left(45^\circ — \frac{\alpha}{4}\right)\).

Эта формула учитывает геометрические соотношения в треугольнике осевого сечения и определяет радиус шара, касающегося боковой поверхности и основания конуса.

Для нахождения радиуса вписанного шара в конус с образующей \(b\) и углом при вершине осевого сечения \(\alpha\), рассмотрим геометрию конуса и положение шара внутри него. Конус задаётся осевым сечением, в котором угол при вершине равен \(\alpha\), а длина образующей — \(b\). Вписанный шар касается боковой поверхности конуса и основания, поэтому его радиус зависит от угла \(\alpha\) и длины образующей.

Рассмотрим треугольник, образованный осевым сечением конуса. Половина угла при вершине равна \(\frac{\alpha}{2}\). Радиус вписанного шара можно выразить через длину образующей и тригонометрические функции угла. Для этого используем синус половины угла \(\sin \frac{\alpha}{2}\), который показывает отношение высоты треугольника к образующей, и тангенс выражения \(45^\circ — \frac{\alpha}{4}\), отражающего соотношение между радиусом шара и длиной образующей в данном треугольнике.

Итоговая формула для радиуса вписанного шара выглядит так: \(R = b \sin \frac{\alpha}{2} \tan \left(45^\circ — \frac{\alpha}{4}\right)\). Здесь произведение \(b \sin \frac{\alpha}{2}\) даёт проекцию образующей на радиус основания, а множитель \(\tan \left(45^\circ — \frac{\alpha}{4}\right)\) корректирует длину радиуса с учётом угла конуса, обеспечивая точное значение радиуса вписанного шара.