ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В усечённый конус, образующая которого равна 8 см, вписан шар. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Дана длина образующей усечённого конуса \( l = 8 \) см. Формула площади боковой поверхности: \( S = \pi (r_1 + r_2) \cdot l \).

Подставляем известные значения: \( S = 64 \pi \), \( l = 8 \). Получаем уравнение \( \pi (r_1 + r_2) \cdot 8 = 64 \pi \).

Сокращаем на \( \pi \) и делим на 8: \( r_1 + r_2 = \frac{64}{8} = 8 \).

Ответ: площадь боковой поверхности равна \( 64 \pi \) см².

1. Дано усечённый конус с длиной образующей \( l = 8 \) см. Образующая — это наклонный отрезок, соединяющий вершину полного конуса с точкой на его основании. В усечённом конусе эта длина остаётся неизменной для боковой поверхности, так как она является частью боковой стороны. Для нахождения площади боковой поверхности усечённого конуса необходимо знать радиусы верхнего и нижнего оснований, обозначим их \( r_1 \) и \( r_2 \).

2. Формула площади боковой поверхности усечённого конуса выражается через сумму радиусов оснований и длину образующей:
\( S_{\text{бок. п. ус. к.}} = \pi (r_1 + r_2) \cdot l \).
Эта формула получается из развертки боковой поверхности, которая представляет собой кольцо с внутренним радиусом \( r_1 \) и внешним радиусом \( r_2 \). Длина образующей \( l \) является высотой этого кольца, а сумма радиусов даёт средний радиус окружности, по которой происходит вычисление площади боковой поверхности.

3. По условию задачи площадь боковой поверхности равна \( 64 \pi \) см². Подставляя длину образующей \( l = 8 \) см, получаем уравнение:
\( \pi (r_1 + r_2) \cdot 8 = 64 \pi \).
Сокращая на \( \pi \), имеем:
\( (r_1 + r_2) \cdot 8 = 64 \).
Делим обе части на 8:
\( r_1 + r_2 = \frac{64}{8} = 8 \).
Таким образом, сумма радиусов оснований равна 8 см, что позволяет определить размеры усечённого конуса и подтвердить площадь боковой поверхности. Ответ:
\( S_{\text{бок. п. ус. к.}} = 64 \pi \) см².