ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиусы оснований усечённого конуса равны \(r\) и \(R\). Найдите радиус сферы, вписанной в данный усечённый конус.

Дано: радиусы оснований усечённого конуса \(r\) и \(R\).

Найти: радиус сферы, вписанной в усечённый конус.

Решение: радиус вписанной сферы равен \( \sqrt{rR} \).

1. Рассмотрим усечённый конус с радиусами оснований \(r\) и \(R\). Вписанная сфера касается обеих оснований и боковой поверхности усечённого конуса. Радиус такой сферы зависит от геометрии усечённого конуса, то есть от радиусов \(r\) и \(R\).

2. Для нахождения радиуса вписанной сферы используется геометрический принцип, что радиус сферы, касающейся двух оснований усечённого конуса и боковой поверхности, равен среднему геометрическому радиусов оснований. Это связано с тем, что сфера должна одновременно касаться обоих оснований, а значит её радиус должен быть таким, чтобы расстояния до оснований были равны и соответствовали радиусам усечённого конуса.

3. Таким образом, радиус вписанной сферы вычисляется по формуле \(r_{\text{сферы}} = \sqrt{r \cdot R}\). Эта формула показывает, что радиус сферы равен квадратному корню из произведения радиусов оснований усечённого конуса. Это решение отражает равновесие касания сферы с обеими основаниями и боковой поверхностью усечённого конуса.