ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите объём правильной четырёхугольной призмы, сторона основания которой равна \(a\), а угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен \(\alpha\).

Обозначим высоту призмы через \(h\). Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол \(\alpha\), а её проекция на основание равна диагонали квадрата \(a\sqrt{2}\). Тогда \(\tan\alpha=\frac{h}{a\sqrt{2}}\), откуда \(h=a\sqrt{2}\tan\alpha\).

Объём правильной четырёхугольной призмы: \(V=S_{\text{осн}}\cdot h=a^{2}\cdot h=a^{2}\cdot a\sqrt{2}\tan\alpha=a^{3}\sqrt{2}\tan\alpha\).

1) Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат со стороной \(a\), поэтому площадь основания равна \(S_{\text{осн}}=a^{2}\). Диагональ квадрата выступает в роли горизонтальной проекции диагонали всей призмы на плоскость основания. Длина диагонали квадрата равна \(a\sqrt{2}\), так как по теореме Пифагора для квадрата со стороной \(a\) имеем \(d_{\text{кв}}=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{2}\).

2) Обозначим высоту призмы через \(h\). Диагональ призмы соединяет две вершины, не лежащие в одной грани, и образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой \(h\) и проекцией диагонали призмы на основание \(a\sqrt{2}\), тангенс угла между диагональю и плоскостью равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \(\tan\alpha=\frac{h}{a\sqrt{2}}\). Отсюда выражаем высоту: \(h=a\sqrt{2}\tan\alpha\).

3) Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: \(V=S_{\text{осн}}\cdot h=a^{2}\cdot h\). Подставляя найденную высоту, получаем \(V=a^{2}\cdot a\sqrt{2}\tan\alpha=a^{3}\sqrt{2}\tan\alpha\). Таким образом, объём правильной четырёхугольной призмы при стороне основания \(a\) и угле \(\alpha\) между диагональю призмы и плоскостью основания равен \(V=a^{3}\sqrt{2}\tan\alpha\).