ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием наклонной призмы является параллелограмм со сторонами 3 см и 8 см и углом \(30^\circ\). Боковое ребро призмы равно 12 см и образует с плоскостью основания угол \(45^\circ\). Найдите объём призмы.

Объём призмы: \(V=S\cdot h\).

Площадь основания (параллелограмм со сторонами \(3\) и \(8\), угол \(30^\circ\)): \(S=3\cdot 8\cdot \sin 30^\circ=24\cdot \frac{1}{2}=12\ \text{см}^2\).

Высота призмы — проекция ребра \(12\) на перпендикуляр к основанию: \(h=12\cdot \sin 45^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}\ \text{см}\).

Ответ: \(V=12\cdot 6\sqrt{2}=72\sqrt{2}\ \text{см}^3\).

Искомый объём наклонной призмы определяется по общей формуле \(V=S\cdot h\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота призмы, то есть расстояние между основаниями, равное перпендикуляру к плоскости основания. Основание — параллелограмм со сторонами \(3\ \text{см}\) и \(8\ \text{см}\) и содержащим угол \(30^\circ\). Для параллелограмма площадь выражается через две смежные стороны и синус угла между ними: \(S=ab\sin\alpha\). Подставляя \(a=3\), \(b=8\), \(\alpha=30^\circ\), получаем \(S=3\cdot 8\cdot \sin 30^\circ=24\cdot \frac{1}{2}=12\ \text{см}^2\). Это значение соответствует площади одного основания и используется далее без изменений, так как объём зависит именно от площади основания и высоты, а не от наклона призмы.

Высота наклонной призмы не совпадает с длиной бокового ребра, если призма наклонная. По условию боковое ребро равно \(12\ \text{см}\) и образует с плоскостью основания угол \(45^\circ\). Пусть \(l=12\) — длина ребра, тогда высота — это его ортогональная проекция на направление, перпендикулярное основанию. Если отрезок длины \(l\) составляет угол \(\varphi\) с плоскостью, то угол между отрезком и нормалью к плоскости равен \(90^\circ-\varphi\), и его проекция на нормаль имеет длину \(l\sin\varphi\). Следовательно, \(h=l\sin 45^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}\ \text{см}\). Такой выбор функции синуса оправдан тем, что синус угла с плоскостью даёт отношение перпендикулярной составляющей к полной длине отрезка.

Подставляя найденные величины в формулу объёма, получаем \(V=S\cdot h=12\cdot 6\sqrt{2}=72\sqrt{2}\ \text{см}^3\). Итоговое значение отражает, что объём прямо пропорционален как площади основания, так и истинной высоте призмы, которая, в случае наклонной геометрии, вычисляется через проекцию бокового ребра на перпендикуляр к основанию. Ответ согласуется с проверкой размерности: \(\text{см}^2\cdot \text{см}=\text{см}^3\), следовательно, \(V=72\sqrt{2}\ \text{см}^3\).