ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием наклонной призмы является треугольник со сторонами \(4\sqrt{3}\) см и 5 см и углом \(120^\circ\) между ними. Боковое ребро призмы равно 20 см и образует с высотой призмы угол \(60^\circ\). Найдите объём призмы.

Объём призмы: \(V=S\cdot h\).

Площадь основания по формуле с углом: \(S=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 5\cdot \sin 120^\circ=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=15\ \text{см}^2\).

Высота: боковое ребро \(20\) см образует с высотой угол \(60^\circ\), значит \(h=20\cdot \cos 60^\circ=20\cdot \frac{1}{2}=10\ \text{см}\).

Тогда \(V=15\cdot 10=150\ \text{см}^3\).

Объём призмы равен произведению площади её основания на высоту: \(V=S\cdot h\). Основание — треугольник со сторонами \(4\sqrt{3}\) и \(5\), угол между ними \(120^\circ\). Площадь такого треугольника находим по формуле через две стороны и угол между ними: \(S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\). Подставляем \(a=4\sqrt{3}\), \(b=5\), \(\gamma=120^\circ\). Так как \(\sin 120^\circ=\sin(180^\circ-60^\circ)=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем \(S=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\). Последовательно упрощаем: \(\frac{1}{2}\cdot 4=2\), далее \(2\cdot \frac{1}{2}=1\), а \(\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3\). Итак, \(S=5\cdot 3=15\ \text{см}^{2}\).

Высота призмы — перпендикулярное расстояние между основаниями. Боковое ребро равно \(20\) и образует с высотой угол \(60^\circ\); высота — это проекция этого ребра на направление перпендикуляра к основаниям, поэтому \(h=20\cos 60^\circ\). Поскольку \(\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\), получаем \(h=20\cdot \frac{1}{2}=10\ \text{см}\). Здесь используется косинус, потому что нужна прилежащая к углу составляющая в направлении высоты.

Объём равен произведению найденных величин: \(V=S\cdot h=15\cdot 10=150\ \text{см}^{3}\). Размерности согласованы: площадь основания в \(\text{см}^{2}\), высота в \(\text{см}\), следовательно, объём в \(\text{см}^{3}\). Наклон призмы не меняет ни площадь основания, ни высоту, поэтому результат совпадает с объёмом соответствующей прямой призмы: \(V=150\ \text{см}^{3}\).