ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 12 см и образует с плоскостью основания угол \(30^\circ\). Угол между диагональю основания и одной из его сторон равен \(60^\circ\). Найдите объём параллелепипеда.

Из диагонали параллелепипеда \(BD_1=12\) и угла с плоскостью основания \(30^\circ\) получаем высоту: \(h=BD_1\cdot\sin30^\circ=12\cdot\frac12=6\) см.

Проекция пространственной диагонали на основание равна диагонали основания: \(BD=BD_1\cdot\cos30^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\) см.

В основании дан угол между диагональю и стороной \(60^\circ\). Тогда в прямоугольном треугольнике со сторонами основания \(a\) и \(b\): \(a=BD\cdot\cos60^\circ=6\sqrt3\cdot\frac12=3\sqrt3\) см, \(b=BD\cdot\sin60^\circ=6\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=9\) см. Площадь основания: \(S=a\cdot b=3\sqrt3\cdot9=27\sqrt3\) см\(^2\).

Объём: \(V=S\cdot h=27\sqrt3\cdot6=162\sqrt3\) см\(^3\).

Начнём с пространственной диагонали параллелепипеда \(BD_1=12\), которая образует с плоскостью основания угол \(30^\circ\). Высота параллелепипеда равна проекции диагонали на направление, перпендикулярное основанию: \(h=BD_1\sin30^\circ=12\cdot\frac12=6\) см. Одновременно проекция этой диагонали на плоскость основания даёт диагональ основания: \(BD=BD_1\cos30^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\) см. Итак, мы знаем длину диагонали основания и высоту, что позволит восстановить стороны основания, используя геометрию в плоскости.

В основании дан угол между диагональю и одной из сторон \(60^\circ\). Пусть стороны основания равны \(a\) и \(b\), а диагональ основания \(BD\) образует угол \(60^\circ\) со стороной \(a\). Тогда в прямоугольном треугольнике, образованном стороной \(a\), перпендикулярной ей стороной \(b\) и диагональю \(BD\), выполняются соотношения проекций: \(a=BD\cos60^\circ=6\sqrt3\cdot\frac12=3\sqrt3\) см, \(b=BD\sin60^\circ=6\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=9\) см. Эти формулы следуют из определения косинуса и синуса угла между диагональю прямоугольника и его сторонами, так как диагональ в прямоугольнике является гипотенузой соответствующих прямоугольных треугольников с катетами \(a\) и \(b\).

Площадь основания равна произведению его смежных сторон: \(S=a\cdot b=(3\sqrt3)\cdot9=27\sqrt3\) см\(^2\). Далее объём прямоугольного параллелепипеда находится как произведение площади основания на высоту: \(V=S\cdot h=27\sqrt3\cdot6=162\sqrt3\) см\(^3\). Полученное значение согласовано со всеми исходными данными: высота вытекает из угла \(30^\circ\) при фиксированной диагонали \(12\), диагональ основания корректно получена через косинус этого же угла, а стороны основания восстановлены по углу \(60^\circ\) между диагональю и стороной, что обеспечивает точное вычисление площади и конечного объёма.