ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна \(d\) и образует с плоскостью боковой грани угол \(\alpha\). Найдите объём призмы.

Проекция пространственной диагонали \(d\) на плоскость боковой грани равна диагонали прямоугольника со сторонами \(a\) и \(h\), то есть \(\sqrt{a^{2}+h^{2}}\). По определению угла между прямой и плоскостью: \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{a^{2}+h^{2}}}{d}\Rightarrow a^{2}+h^{2}=d^{2}\cos^{2}\alpha\).

У правильной четырёхугольной призмы \(d^{2}=2a^{2}+h^{2}\). Вычитая, получаем \(a^{2}=d^{2}\sin^{2}\alpha\). Тогда \(h^{2}=d^{2}\cos^{2}\alpha-a^{2}=d^{2}(\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha)=d^{2}\cos 2\alpha\Rightarrow h=d\sqrt{\cos 2\alpha}\).

Объём \(V=a^{2}h=d^{2}\sin^{2}\alpha\cdot d\sqrt{\cos 2\alpha}=d^{3}\sin^{2}\alpha\sqrt{\cos 2\alpha}\).

Рассмотрим правильную четырёхугольную призму со стороной основания \(a\), высотой \(h\) и пространственной диагональю \(d\), образующей угол \(\alpha\) с плоскостью боковой грани. В плоскости этой боковой грани диагональ призмы проецируется на диагональ прямоугольника со сторонами \(a\) и \(h\). Длина этой проекции равна \( \sqrt{a^{2}+h^{2}} \). По определению угла между прямой и плоскостью имеем соотношение \( \cos\alpha=\frac{\text{длина проекции}}{\text{длина прямой}}=\frac{\sqrt{a^{2}+h^{2}}}{d} \), откуда следует равенство \( a^{2}+h^{2}=d^{2}\cos^{2}\alpha \). Это связывает параметры призмы с углом \(\alpha\) через тригонометрическую проекцию.

С другой стороны, длина пространственной диагонали правильной четырёхугольной призмы выражается через теорему Пифагора в трех измерениях: квадрат диагонали равен сумме квадратов двух взаимно перпендикулярных ребер основания и высоты, то есть \( d^{2}=a^{2}+a^{2}+h^{2}=2a^{2}+h^{2} \). Сопоставляя это равенство с ранее полученным \( a^{2}+h^{2}=d^{2}\cos^{2}\alpha \), вычтем второе из первого, чтобы исключить \(h^{2}\): получаем \( d^{2}-d^{2}\cos^{2}\alpha=2a^{2}-(a^{2}) \), то есть \( d^{2}\sin^{2}\alpha=a^{2} \). Следовательно, сторона основания выражается как \( a=d\sin\alpha \), а ее квадрат \( a^{2}=d^{2}\sin^{2}\alpha \).

Теперь найдем высоту. Подставим \( a^{2}=d^{2}\sin^{2}\alpha \) в соотношение \( a^{2}+h^{2}=d^{2}\cos^{2}\alpha \) и получим \( h^{2}=d^{2}\cos^{2}\alpha-d^{2}\sin^{2}\alpha=d^{2}(\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha)=d^{2}\cos 2\alpha \). Отсюда \( h=d\sqrt{\cos 2\alpha} \) при условии геометрической реализуемости \(\cos 2\alpha\ge 0\) (что гарантирует действительную высоту). Объем призмы равен произведению площади квадратного основания на высоту: \( V=a^{2}h \). Подставляя найденные выражения, получаем \( V=d^{2}\sin^{2}\alpha\cdot d\sqrt{\cos 2\alpha}=d^{3}\sin^{2}\alpha\sqrt{\cos 2\alpha} \).