ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна \(d\) и образует с плоскостью основания угол \(\alpha\), а с плоскостью боковой грани — угол \(\beta\). Найдите объём призмы.

Диагональ \(d\) образует с основанием угол \(\alpha\): вертикальная составляющая равна \(h=d\sin\alpha\), а проекция на основание \(d\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\).

С боковой гранью угол \(\beta\): её проекция равна \(d\cos\beta=\sqrt{a^2+h^2}\). Отсюда \(a=\sqrt{d^2\cos^2\beta-h^2}=d\sqrt{\cos^2\beta-\sin^2\alpha}\).

Тогда \(b^2=d^2\cos^2\alpha-a^2=d^2\cos^2\alpha-d^2(\cos^2\beta-\sin^2\alpha)=d^2\sin^2\beta\), значит \(b=d\sin\beta\).

Объём \(V=abh=d^3\sin\alpha\sin\beta\sqrt{\cos^2\alpha-\sin^2\beta}\).

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с рёбрами \(a\), \(b\), \(h\) и пространственной диагональю \(d\). Диагональ образует с плоскостью основания угол \(\alpha\), а с плоскостью боковой грани угол \(\beta\). Из соотношений между диагональю и её проекциями на соответствующие плоскости получаем: вертикальная составляющая диагонали равна \(h=d\sin\alpha\), а длина её проекции на плоскость основания равна \(d\cos\alpha\). При этом проекция диагонали на боковую грань (содержащую рёбра \(a\) и \(h\)) имеет длину \(d\cos\beta\), и её разложение даёт горизонтальную составляющую \(a\) и вертикальную \(h\). Эти базовые геометрические связи позволяют выразить все рёбра через \(d\), \(\alpha\), \(\beta\).

Из проекции на боковую грань получаем равенство \(d\cos\beta=\sqrt{a^{2}+h^{2}}\). Подставляя \(h=d\sin\alpha\), находим \(a=\sqrt{d^{2}\cos^{2}\beta-h^{2}}=\sqrt{d^{2}\cos^{2}\beta-d^{2}\sin^{2}\alpha}=d\sqrt{\cos^{2}\beta-\sin^{2}\alpha}\). Далее, используя проекцию диагонали на основание, имеем \(d\cos\alpha=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\). Подставляя найденное \(a\), получаем \(b^{2}=d^{2}\cos^{2}\alpha-a^{2}=d^{2}\cos^{2}\alpha-d^{2}(\cos^{2}\beta-\sin^{2}\alpha)=d^{2}(\cos^{2}\alpha-\cos^{2}\beta+\)
\(+\sin^{2}\alpha)=d^{2}(1-\cos^{2}\beta)=d^{2}\sin^{2}\beta\), откуда \(b=d\sin\beta\). Таким образом, все три ребра выражены через \(d\), \(\alpha\), \(\beta\): \(h=d\sin\alpha\), \(a=d\sqrt{\cos^{2}\beta-\sin^{2}\alpha}\), \(b=d\sin\beta\).

Объём параллелепипеда равен \(V=abh\). Подставляя найденные выражения, получаем \(V=(d\sqrt{\cos^{2}\beta-\sin^{2}\alpha})(d\sin\beta)(d\sin\alpha)=d^{3}\sin\alpha\sin\beta\sqrt{\cos^{2}\beta-\sin^{2}\alpha}\). Если в формулировке задачи «боковой гранью» считается другая грань основания, то соответствующий угол под корнем может переставиться, что даёт эквивалентную запись \(V=d^{3}\sin\alpha\sin\beta\sqrt{\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\beta}\). В обоих случаях структура вывода одинакова: из углов наклона диагонали к плоскостям выражаются компоненты диагонали, затем находятся рёбра как проекции, и, наконец, их произведение даёт искомый объём.