ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите объём правильной шестиугольной призмы \(ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1\), если её диагонали \(A_1D\) и \(A_1E\) равны соответственно 13 см и 12 см.

Пусть сторона основания \(a\), высота призмы \(h\). Тогда по координатной модели: \(A_1D^2=4a^2+h^2=169\) и \(A_1E^2=3a^2+h^2=144\).

Из разности уравнений получаем \(a^2=25\Rightarrow a=5\). Подставляя, находим \(h^2=144-3\cdot25=69\Rightarrow h=\sqrt{69}\).

Площадь правильного шестиугольника: \(S=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{75\sqrt{3}}{2}\). Тогда объём призмы \(V=S\cdot h=\frac{75\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{69}=\frac{75}{2}\sqrt{207}=\frac{225\sqrt{23}}{2}\ \text{см}^3\).

Рассмотрим правильную шестиугольную призму со стороной основания \(a\) и высотой \(h\). Введём координаты так, чтобы нижнее основание лежало в плоскости \(z=0\), верхнее в плоскости \(z=h\), при этом возьмём вершины основания как вершины правильного шестиугольника с центром в начале координат и одной вершиной на положительном луче оси \(Ox\). Тогда можно положить \(A(a,0,0)\), вершина, противоположная \(A\), равна \(D(-a,0,0)\), а соседняя с противоположной, но не коллинеарная с осью \(Ox\), равна \(E\left(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}a,0\right)\). Соответствующая верхняя вершина имеет координаты \(A_1(a,0,h)\). Квадраты расстояний до этих точек задают пространственные диагонали: \(A_1D^2=(a-(-a))^2+(0-0)^2+(h-0)^2=4a^2+h^2\), \(A_1E^2=\left(a+\frac{a}{2}\right)^2+\left(0-\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2+h^2=3a^2+h^2\). По условию \(A_1D=13\) и \(A_1E=12\), значит имеем систему \(4a^2+h^2=169\) и \(3a^2+h^2=144\).

Вычитая второе уравнение из первого, получаем \(a^2=169-144=25\), следовательно \(a=5\) см, так как сторона положительна. Подставляя найденное значение в любое из уравнений, удобнее во второе, находим \(h^2=144-3\cdot25=144-75=69\), следовательно \(h=\sqrt{69}\) см. Эти результаты согласуются с геометрией правильного шестиугольника: расстояние между противоположными вершинами основания равно \(2a\), а между \(A\) и \(E\) по проекции на плоскость основания даёт вклад \(3a^2\) к квадрату диагонали, что и отразилось в равенствах для \(A_1D^2\) и \(A_1E^2\). Таким образом, линейные параметры призмы полностью определены исходя из длин двух пространственных диагоналей, и дополнительных условий не требуется.

Для вычисления объёма призмы находим площадь основания. Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна площади шести равносторонних треугольников со стороной \(a\), то есть \(S_{\text{осн}}=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\). Подставляя \(a=5\), получаем \(S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot25=\frac{75\sqrt{3}}{2}\ \text{см}^2\). Объём призмы равен произведению площади основания на высоту, поэтому \(V=S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{75\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{69}=\frac{75}{2}\sqrt{207}\ \text{см}^3\). Упростим радикал: так как \(207=9\cdot23\), то \(\sqrt{207}=3\sqrt{23}\), следовательно \(V=\frac{225\sqrt{23}}{2}\ \text{см}^3\). Ответ можно оставить в этом виде, он является точным и выражает объём через простые радикалы, полученные из данных длин диагоналей.