ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является ромб \(ABCD\). Известно, что \(\angle BAD = \alpha\), \(AC = d\). Через прямую \(BD\) и точку \(C_1\) проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол \(\beta\). Найдите объём призмы.

Основание — ромб, у которого диагональ \(AC = d\) и угол \( \alpha \), сторона равна \(a = \frac{d}{2 \cos \frac{\alpha}{2}}\).

Площадь основания \(S = \frac{1}{2} AC \cdot BD = d \cdot a \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{d^2}{2} \tan \frac{\alpha}{2}\).

Высота призмы \(h = d \tan \beta\), так как плоскость через \(BD\) и \(C_1\) образует угол \(\beta\) с основанием.

Объём призмы \(V = S \cdot h = \frac{d^2}{2} \tan \frac{\alpha}{2} \cdot d \tan \beta = \frac{d^3}{2} \tan \frac{\alpha}{2} \tan \beta\).

Основание призмы — ромб \( ABCD \), у которого известно, что диагональ \( AC = d \) и угол при вершине \( A \) равен \( \alpha \). В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам, поэтому можно выразить сторону ромба через диагональ \( AC \) и угол \( \alpha \). Сторона ромба \( a \) равна \( a = \frac{d}{2 \cos \frac{\alpha}{2}} \), так как диагональ \( AC \) делится на два отрезка длиной \( a \cos \frac{\alpha}{2} \). Это ключевой шаг для нахождения площади основания.

Площадь ромба вычисляется как половина произведения диагоналей. Диагональ \( BD \) равна \( 2a \sin \frac{\alpha}{2} \), так как угол между сторонами ромба — \( \alpha \). Тогда площадь основания \( S \) равна \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot d \cdot 2a \sin \frac{\alpha}{2} = d a \sin \frac{\alpha}{2} \). Подставляя выражение для \( a \), получаем \( S = d \cdot \frac{d}{2 \cos \frac{\alpha}{2}} \cdot \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{d^2}{2} \cdot \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{d^2}{2} \tan \frac{\alpha}{2} \).

Высота призмы \( h \) связана с углом наклона плоскости, проходящей через прямую \( BD \) и точку \( C_1 \), к плоскости основания. Этот угол равен \( \beta \), и высота призмы равна \( h = d \tan \beta \), так как \( d \) — длина диагонали \( AC \), а тангенс угла даёт отношение высоты к основанию. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту, то есть \( V = S \cdot h = \frac{d^2}{2} \tan \frac{\alpha}{2} \cdot d \tan \beta = \frac{d^3}{2} \tan \frac{\alpha}{2} \tan \beta \).