ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является треугольник \(ABC\). Известно, что \(\angle ACB = 90^\circ\), \(\angle ABC = \beta\), \(AB = c\). Плоскость \(A_1BC\) образует с плоскостью основания призмы угол \(\alpha\). Найдите объём призмы.

Основание призмы — прямоугольный треугольник с катетами \(AC\) и \(BC\), где \(AC = c \sin \beta\), \(BC = c \cos \beta\).

Площадь основания равна \(S = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} c^2 \sin \beta \cos \beta\).

Высота призмы связана с углом \(\alpha\) между плоскостью \(A_1BC\) и основанием, и выражается как \(h = \frac{1}{2} c \sin \beta \tan \alpha\).

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:

\(V = S \cdot h = \frac{1}{2} c^2 \sin \beta \cos \beta \cdot \frac{1}{2} c \sin \beta \tan \alpha = \frac{1}{4} c^3 \sin 2\beta \sin \beta \tan \alpha\).

Основание призмы — прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C\). Из условия известно, что \(AB = c\), угол при вершине \(B\) равен \(\beta\), а угол при вершине \(C\) равен \(90^\circ\). В прямоугольном треугольнике стороны \(AC\) и \(BC\) — катеты, а \(AB\) — гипотенуза. По определению тригонометрических функций для угла \(\beta\) сторона \(BC\) равна \(c \cos \beta\), так как \(BC = AB \cos \beta\), а сторона \(AC\) равна \(c \sin \beta\), так как \(AC = AB \sin \beta\).

Площадь основания призмы — это площадь треугольника \(ABC\), которая вычисляется как половина произведения катетов: \(S = \frac{1}{2} AC \cdot BC\). Подставляя выражения для катетов, получаем \(S = \frac{1}{2} (c \sin \beta)(c \cos \beta) = \frac{1}{2} c^{2} \sin \beta \cos \beta\). Для удобства можно использовать формулу двойного угла \(\sin 2\beta = 2 \sin \beta \cos \beta\), тогда площадь основания записывается как \(S = \frac{c^{2}}{4} \sin 2\beta\).

Высота призмы \(h\) — это длина ребра \(AA_1\), перпендикулярного основанию. Из условия известно, что плоскость \(A_1BC\) образует с основанием угол \(\alpha\). Этот угол равен углу между плоскостями, который совпадает с углом наклона ребра \(AA_1\) к основанию. Рассмотрим проекцию ребра \(AA_1\) на плоскость основания: она равна длине \(AC\), так как ребро поднимается над точкой \(A\), а угол \(\alpha\) задаёт наклон ребра относительно горизонтальной плоскости. Тогда высота связана с углом \(\alpha\) и длиной \(AC\) как \(h = AC \tan \alpha = c \sin \beta \tan \alpha\).

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: \(V = S \cdot h\). Подставляя найденные выражения, получаем \(V = \frac{1}{2} c^{2} \sin \beta \cos \beta \cdot c \sin \beta \tan \alpha = \frac{1}{2} c^{3} \sin^{2} \beta \cos \beta \tan \alpha\). Используя формулу для синуса двойного угла, объём можно переписать в более компактном виде: \(V = \frac{1}{4} c^{3} \sin 2\beta \sin \beta \tan \alpha\).