ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площади трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равны \(S_1\), \(S_2\) и \(S_3\). Найдите объём параллелепипеда.

Пусть длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, исходящих из общей вершины, равны \(a\), \(b\), \(c\).

Площади трёх граней: \(S_1 = ab\), \(S_2 = bc\), \(S_3 = ac\).

Объём параллелепипеда равен \(V = abc\).

Перемножим площади: \(S_1 S_2 S_3 = (ab)(bc)(ac) = a^2 b^2 c^2 = (abc)^2 = V^2\).

Отсюда \(V = \sqrt{S_1 S_2 S_3}\).

Пусть длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, исходящих из одной общей вершины, равны \(a\), \(b\) и \(c\). Эти рёбра образуют три грани, каждая из которых является прямоугольником. Площади этих граней обозначим как \(S_1\), \(S_2\) и \(S_3\). Тогда площадь первой грани, образованной рёбрами \(a\) и \(b\), равна \(S_1 = ab\). Аналогично, площадь второй грани, образованной рёбрами \(b\) и \(c\), равна \(S_2 = bc\), а площадь третьей грани, образованной рёбрами \(a\) и \(c\), равна \(S_3 = ac\).

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение длин трёх его рёбер: \(V = abc\). Чтобы выразить объём через площади граней, рассмотрим произведение \(S_1 S_2 S_3\). Подставляя выражения для площадей, получаем: \(S_1 S_2 S_3 = (ab)(bc)(ac) = a^2 b^2 c^2\). Это выражение можно переписать как \((abc)^2\), то есть квадрат объёма \(V^2\).

Отсюда следует, что объём \(V\) равен квадратному корню из произведения трёх площадей: \(V = \sqrt{S_1 S_2 S_3}\). Таким образом, зная площади трёх граней, имеющих общую вершину, можно легко найти объём прямоугольного параллелепипеда, вычислив корень квадратный из их произведения.