ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием прямого параллелепипеда является ромб, площадь которого равна \(S\). Площади диагональных сечений параллелепипеда равны \(S_1\) и \(S_2\). Найдите объём параллелепипеда.

Обозначим высоту параллелепипеда через \( h \). Площадь ромба основания равна \( S = \frac{d_1 d_2}{2} \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали ромба.

Площади диагональных сечений равны \( S_1 = d_1 h \) и \( S_2 = d_2 h \).

Выразим высоту: \( h = \frac{S_1}{d_1} = \frac{S_2}{d_2} \).

Перемножим: \( h^2 = \frac{S_1 S_2}{d_1 d_2} \).

Подставим \( d_1 d_2 = 2S \): \( h^2 = \frac{S_1 S_2}{2S} \), значит \( h = \sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}} \).

Объём параллелепипеда равен \( V = S \cdot h = S \cdot \sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}} = \sqrt{\frac{S S_1 S_2}{2}} \).

Пусть у параллелепипеда основание — ромб с площадью \( S \). Этот ромб характеризуется двумя диагоналями длиной \( d_1 \) и \( d_2 \), при этом площадь ромба выражается формулой \( S = \frac{d_1 d_2}{2} \). Диагонали ромба перпендикулярны и пересекаются в точке, деля его на четыре равных треугольника. В параллелепипеде диагональные сечения, проходящие через диагонали основания, представляют собой параллелограммы с основаниями, совпадающими с этими диагоналями, и высотой, равной высоте всего параллелепипеда.

Пусть высота параллелепипеда равна \( h \). Тогда площади диагональных сечений, которые соответствуют параллелограммам с основаниями \( d_1 \) и \( d_2 \) и высотой \( h \), будут равны \( S_1 = d_1 h \) и \( S_2 = d_2 h \) соответственно. Эти равенства показывают, что площадь сечения пропорциональна длине диагонали основания и высоте параллелепипеда. Из этих равенств можно выразить высоту: \( h = \frac{S_1}{d_1} \) и \( h = \frac{S_2}{d_2} \). Поскольку высота одна, равенство этих выражений даёт нам соотношение \( \frac{S_1}{d_1} = \frac{S_2}{d_2} \).

Для нахождения объёма параллелепипеда используем формулу объёма через площадь основания и высоту: \( V = S \cdot h \). Подставим выражение для высоты, используя произведение равенств для \( h \): \( h^2 = \frac{S_1 S_2}{d_1 d_2} \). Из формулы площади ромба \( d_1 d_2 = 2S \), следовательно, \( h^2 = \frac{S_1 S_2}{2S} \) и \( h = \sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}} \). Подставляя это обратно в формулу объёма, получаем \( V = S \cdot \sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}} = \sqrt{\frac{S S_1 S_2}{2}} \). Таким образом, объём параллелепипеда выражается через площадь основания и площади диагональных сечений по формуле \( V = \sqrt{\frac{S S_1 S_2}{2}} \).