ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота правильной треугольной призмы равна \(h\), а диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите объём призмы

Пусть сторона основания равностороннего треугольника равна \(a\). Тогда объём призмы \(V\) равен \(V=S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 h\).

Диагональ боковой грани прямоугольника со сторонами \(a\) и \(h\) образует с плоскостью основания угол \(\alpha\), при этом \(\tan\alpha=\frac{h}{a}\), следовательно \(a=h\cot\alpha\).

Подставляя \(a=h\cot\alpha\) в формулу объёма, получаем \(V=\frac{\sqrt{3}}{4}(h\cot\alpha)^2 h=\frac{h^3\sqrt{3}\cot^2\alpha}{4}\).

Рассмотрим правильную треугольную призму с высотой \(h\) и равносторонним треугольником в основании со стороной \(a\). Площадь такого основания равна \(S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\), поэтому объём призмы выражается как \(V=S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}h\). Таким образом, для нахождения объёма достаточно выразить сторону основания \(a\) через заданные параметры \(h\) и \(\alpha\).

Диагональ боковой грани лежит в прямоугольнике, образованном ребром основания длины \(a\) и высотой призмы \(h\). Угол \(\alpha\) между этой диагональю и плоскостью основания равен углу наклона диагонали к основанию, поэтому отношение вертикальной составляющей к горизонтальной равно \(\tan\alpha=\frac{h}{a}\). Отсюда немедленно следует \(a=\frac{h}{\tan\alpha}=h\cot\alpha\). Этот шаг фактически использует определение тангенса как отношения противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, её проекцией на основание и высотой.

Теперь подставим найденное выражение для \(a\) в формулу объёма. Получаем \(V=\frac{\sqrt{3}}{4}\,(h\cot\alpha)^{2}\,h=\frac{\sqrt{3}}{4}\,h^{2}\cot^{2}\alpha\cdot h=\frac{\sqrt{3}}{4}\,h^{3}\cot^{2}\alpha\). Итоговая формула показывает, что объём растёт как \(h^{3}\) и убывает при увеличении \(\alpha\) из-за зависимости от \(\cot^{2}\alpha\), что согласуется с геометрическим смыслом: при фиксированной высоте меньший угол наклона диагонали означает большую сторону основания и, следовательно, большую площадь основания.

Ответ: \(\frac{h^{3}\sqrt{3}\cot^{2}\alpha}{4}\).