ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Боковое ребро наклонного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно 8 см, расстояние между прямыми \(AA_1\) и \(BB_1\) — \(5\sqrt{3}\) см, между прямыми \(AA_1\) и \(DD_1\) — 4 см, а двугранный угол параллелепипеда при ребре \(AA_1\) равен \(60^\circ\). Найдите объём параллелепипеда.

Дано: боковое ребро \(AA_1 = 8\), расстояния между \(AA_1\) и \(BB_1\) равно \(5\sqrt{3}\), между \(AA_1\) и \(DD_1\) равно 4, двугранный угол при \(AA_1\) равен \(60^\circ\).

Площадь основания равна произведению сторон основания на синус угла между ними: \(S = 5\sqrt{3} \times 4 \times \sin 60^\circ = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} = 30\).

Объём параллелепипеда равен площади основания, умноженной на высоту: \(V = 30 \times 8 = 240\).

Ответ: \(240\) см³.

Параллелепипед задан с боковым ребром \(AA_1\), равным 8 см. Это ребро является высотой параллелепипеда, так как оно соединяет две параллельные плоскости основания. Расстояния между параллельными ребрами \(AA_1\) и \(BB_1\), а также \(AA_1\) и \(DD_1\), равны \(5\sqrt{3}\) см и 4 см соответственно. Эти расстояния соответствуют длинам сторон основания параллелепипеда, так как боковые ребра параллельны и вертикальны. Таким образом, стороны основания параллелепипеда равны \(5\sqrt{3}\) и 4 см.

Двугранный угол при ребре \(AA_1\) равен \(60^\circ\). Этот угол — угол между двумя гранями, сходящимися по ребру \(AA_1\). В основании это соответствует углу между сторонами основания \(AB\) и \(AD\). Значит, угол между сторонами основания равен \(60^\circ\). Площадь основания параллелограмма можно найти по формуле \(S = ab \sin \alpha\), где \(a\) и \(b\) — длины сторон основания, а \(\alpha\) — угол между ними. Подставляем значения: \(S = 5\sqrt{3} \times 4 \times \sin 60^\circ\).

Значение \(\sin 60^\circ\) равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Тогда площадь основания равна \(S = 5\sqrt{3} \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \times \frac{3}{2} = 30\) см². Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: \(V = S \times h = 30 \times 8 = 240\) см³. Таким образом, объём параллелепипеда равен 240 см³.