ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием наклонной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(a\). Вершина \(A_1\) призмы равноудалена от вершин треугольника \(ABC\), а угол между ребром \(AA_1\) и плоскостью основания равен \(\alpha\). Найдите объём призмы.

Основание — равносторонний треугольник со стороной \(a\), его площадь \(S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\). Точка \(A_1\) проецируется в центр треугольника, а угол между \(AA_1\) и плоскостью основания равен \(\alpha\), поэтому высота призмы равна \(h=AA_1\sin\alpha\), а горизонтальная проекция ребра \(AA_1\) равна радиусу окружности, проходящей через вершины, то есть \(\frac{\sqrt{3}}{3}a\). Тогда \(\tan\alpha=\frac{h}{\frac{\sqrt{3}}{3}a}\), откуда \(h=\frac{\sqrt{3}}{3}a\tan\alpha\).

Объём призмы \(V=S\cdot h=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}a\tan\alpha=\frac{1}{4}a^{3}\tan\alpha\).

Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной \(a\). Его площадь равна \(S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\), что следует из стандартной формулы для площади равностороннего треугольника: \(S=\frac{1}{2}\cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a\). Точка \(A_1\) равноудалена от вершин \(A,B,C\), следовательно, её ортогональная проекция на плоскость основания попадает в центр треугольника, совпадающий с центром описанной окружности и центроидом. Расстояние от центра до любой вершины равностороннего треугольника равно радиусу описанной окружности \(R\), причём \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\). Это значение есть длина горизонтальной проекции ребра \(AA_1\) на плоскость основания, потому что \(A\) и проекция \(A_1\) лежат на расстоянии \(R\) друг от друга.

Пусть \(\alpha\) — угол между ребром \(AA_1\) и плоскостью основания. Тогда вертикальная составляющая ребра, то есть высота призмы, равна \(h=AA_1\sin\alpha\), а горизонтальная проекция ребра равна \(AA_1\cos\alpha\). В то же время горизонтальная проекция \(AA_1\) совпадает с расстоянием от вершины \(A\) до центра треугольника, то есть \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\). Из равенства \(AA_1\cos\alpha=R\) получаем \(AA_1=\frac{R}{\cos\alpha}\). Подставляя это в выражение для высоты, имеем \(h=\frac{R}{\cos\alpha}\sin\alpha=R\tan\alpha\). Учитывая найденное значение радиуса \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\), находим высоту как \(h=\frac{a}{\sqrt{3}}\tan\alpha\).

Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту: \(V=S_{\text{осн}}\cdot h\). Подставляя \(S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\) и \(h=\frac{a}{\sqrt{3}}\tan\alpha\), получаем \(V=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\cdot\frac{a}{\sqrt{3}}\tan\alpha=\frac{1}{4}a^{3}\tan\alpha\). Таким образом, объём выражается только через сторону основания \(a\) и угол \(\alpha\), а условие равноудалённости точки \(A_1\) от вершин обеспечивает, что горизонтальная проекция ребра равна \(R\), что и приводит к соотношению \(h=R\tan\alpha\) и к окончательной формуле объёма \(V=\frac{1}{4}a^{3}\tan\alpha\).