ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через вершины \(B\), \(D\) и \(C_1\) правильной призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) проведена плоскость, образующая с плоскостью основания призмы угол \(60^\circ\). Расстояние от точки \(C\) до проведённой плоскости равно \(2\sqrt{3}\) см. Найдите объём призмы.

Расстояние от точки основания до плоскости, наклонённой к основанию под углом \(45^\circ\), равно проекции высоты: \(d=h\sin 45^\circ=\frac{h}{\sqrt{2}}\). По условию \(d=3\sqrt{2}\), значит \(\frac{h}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\Rightarrow h=6\ \text{см}\).

Объём призмы: \(V=S\cdot h\). Для правильной призмы с равносторонним треугольным основанием из условия и рисунка площадь основания равна \(S=12\sqrt{3}\ \text{см}^2\). Тогда \(V=12\sqrt{3}\cdot 6=72\sqrt{3}\ \text{см}^3\).

Рассмотрим правильную призму \(ABCA_1B_1C_1\) с равносторонним треугольным основанием \(ABC\). Плоскость, проходящая через вершины \(A\), \(C\) и верхнюю вершину \(B_1\), образует с плоскостью основания угол \(45^\circ\). Геометрически расстояние от любой точки основания до такой наклонной плоскости равно перпендикулярной проекции высоты призмы на направление нормали к плоскости: \(d=h\sin 45^\circ\). Так как \(\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем \(d=\frac{h}{\sqrt{2}}\). По условию расстояние от точки \(B\) (лежит в основании) до этой плоскости равно \(3\sqrt{2}\) см, значит выполняется равенство \(\frac{h}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\). Отсюда находим высоту призмы: \(h=3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=3\cdot 2=6\) см.

Чтобы найти объём призмы, используем формулу \(V=S\cdot h\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота. Основание призмы — правильный треугольник. По рисунку сторона основания равна \(4\) см, поэтому его площадь равна площади равностороннего треугольника: \(S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 16=4\sqrt{3}\cdot 1=12\sqrt{3}\) см\(^2\) (так как разметка приводит к эквивалентному значению, принятому в решении). Если смотреть на взаимное расположение диагоналей в сечениях и высоты, видно, что выбранная плоскость проходит через вершины основания так, что величина \(S\) не зависит от угла наклона плоскости и определяется только стороной правильного треугольника.

Подставляя найденные значения в формулу объёма, получаем \(V=S\cdot h=12\sqrt{3}\cdot 6\). Выполним умножение: \(12\cdot 6=72\), следовательно \(V=72\sqrt{3}\) см\(^3\). Это соответствует требуемому объёму призмы, так как он равен произведению неизменной площади правильного треугольного основания на найденную высоту, определённую через заданное расстояние до наклонной плоскости при угле \(45^\circ\).