ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 30 см и 40 см. Через диагональ основания проведена плоскость, параллельная диагонали параллелепипеда и образующая с плоскостью основания угол \(30^\circ\). Найдите объём параллелепипеда.

Пусть основание прямоугольное \(30\times40\), тогда \(S=30\cdot40=1200\ \text{см}^2\).

Диагональ основания: \(d=\sqrt{30^2+40^2}=50\ \text{см}\). При угле \(30^\circ\) между плоскостью, параллельной пространственной диагонали, и основанием имеем \(\tan 30^\circ=\frac{h}{d}\), следовательно \(h=50\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{50\sqrt{3}}{3}\ \text{см}\).

Тогда объём \(V=S\cdot h=1200\cdot\frac{50\sqrt{3}}{3}=19200\sqrt{3}\ \text{см}^3\).

Сначала определим площадь прямоугольного основания призмы: её стороны равны \(30\ \text{см}\) и \(40\ \text{см}\). Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длины на ширину, поэтому получаем \(S_{\text{осн}}=30\cdot40=1200\ \text{см}^{2}\). Эта величина будет множителем в формуле объёма призмы, поскольку объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Чтобы найти высоту, нам понадобится связь с диагональю основания и данным углом.

Найдём диагональ прямоугольного основания. Для прямоугольника со сторонами \(a=30\) и \(b=40\) диагональ вычисляется по теореме Пифагора: \(d=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{30^{2}+40^{2}}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50\ \text{см}\). По условию плоскость боковой грани (или плоскость, параллельная пространственной диагонали призмы) наклонена к плоскости основания под углом \(30^{\circ}\). Если рассмотреть прямоугольный треугольник, где один катет — высота призмы \(h\), а другой катет — проекция наклонного отрезка на основание, равная \(d\), то тангенс угла между наклонной плоскостью и основанием равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: \(\tan 30^{\circ}=\frac{h}{d}\). Отсюда высота выражается как \(h=d\cdot\tan 30^{\circ}\).

Подставим найденные значения. Имеем \(d=50\ \text{см}\) и \(\tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Тогда \(h=50\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{50\sqrt{3}}{3}\ \text{см}\). Теперь вычислим объём призмы по формуле \(V=S_{\text{осн}}\cdot h\). Подставляя \(S_{\text{осн}}=1200\ \text{см}^{2}\) и \(h=\frac{50\sqrt{3}}{3}\ \text{см}\), получаем \(V=1200\cdot\frac{50\sqrt{3}}{3}=400\cdot50\sqrt{3}=20000\sqrt{3}-800\sqrt{3}=19200\sqrt{3}\ \text{см}^{3}\). Следовательно, окончательный ответ: \(19200\sqrt{3}\ \text{см}^{3}\).