ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является ромб \(ABCD\), диагонали которого равны 8 см и \(4\sqrt{5}\) см. Угол между плоскостью, проходящей через прямые \(AD\) и \(B_1C_1\), и плоскостью основания призмы равен \(45^\circ\). Найдите объём призмы.

По условию угол между плоскостью, проходящей через \(AD\) и \(B_1C_1\), и плоскостью основания равен \(45^\circ\). Так как \(B_1C_1 \parallel BC\), ортогональная проекция этой плоскости на основание содержит \(AD\) и \(BC\). Тогда \(\tan 45^\circ=\frac{h}{d}=1\), где \(h\) — высота призмы, а \(d\) — расстояние между параллельными прямыми \(AD\) и \(BC\) в основании. Значит, \(h=d\).

В ромбе с диагоналями \(AC=8\) и \(BD=4\sqrt{5}\) полудиагонали \(p=\frac{AC}{2}=4\) и \(q=\frac{BD}{2}=2\sqrt{5}\). Сторона \(a=\sqrt{p^{2}+q^{2}}=\sqrt{4^{2}+(2\sqrt{5})^{2}}=6\). Площадь основания \(S=\frac{AC\cdot BD}{2}=16\sqrt{5}\). Расстояние между параллельными сторонами \(d=\frac{S}{a}=\frac{16\sqrt{5}}{6}=\frac{8\sqrt{5}}{3}\). Следовательно, \(h=\frac{8\sqrt{5}}{3}\).

Объём призмы \(V=S\cdot h=16\sqrt{5}\cdot \frac{8\sqrt{5}}{3}=\frac{16\cdot 8\cdot 5}{3}=\frac{640}{3}\,\text{см}^{3}\).

Пусть дана прямая призма с основанием-ромбом \(ABCD\) и верхним основанием \(A_1B_1C_1D_1\). Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые \(AD\) и \(B_1C_1\). Так как призма прямая, ребра \(AA_1, BB_1, CC_1, DD_1\) перпендикулярны плоскости основания, а \(B_1C_1 \parallel BC\). Ортогональная проекция выбранной плоскости на основание призмы содержит прямые \(AD\) и \(BC\), то есть проекцией является плоскость основания с двумя параллельными прямыми \(AD\) и \(BC\). Угол между плоскостью и её проекцией равен углу наклона любого направления в этой плоскости, перпендикулярного к линии пересечения плоскостей; здесь удобно взять направление, параллельное боковым рёбрам, то есть «вертикаль». Тогда по определению угла между плоскостями имеем \(\tan 45^\circ=\frac{h}{d}=1\), где \(h\) — высота призмы, а \(d\) — расстояние между параллельными прямыми \(AD\) и \(BC\) в основании. Следовательно, \(h=d\), то есть высота призмы равна высоте ромба на сторону \(a\), параллельную \(BC\).

Перейдём к параметрам ромба. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются, делясь пополам. Пусть \(AC=8\) и \(BD=4\sqrt{5}\). Тогда полудиагонали равны \(p=\frac{AC}{2}=4\) и \(q=\frac{BD}{2}=2\sqrt{5}\). Сторона ромба выражается через полудиагонали как гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей: \(a=\sqrt{p^{2}+q^{2}}=\sqrt{4^{2}+(2\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{16+20}=6\). Площадь ромба можно находить двумя эквивалентными способами: через диагонали \(S=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{8\cdot 4\sqrt{5}}{2}=16\sqrt{5}\) или через сторону и высоту к ней \(S=a\cdot h_{\text{ромба}}\). Отсюда высота ромба на сторону \(a\) равна \(h_{\text{ромба}}=\frac{S}{a}=\frac{16\sqrt{5}}{6}=\frac{8\sqrt{5}}{3}\). Именно эта высота совпадает с расстоянием между параллельными прямыми \(AD\) и \(BC\): \(d=\frac{8\sqrt{5}}{3}\).

Так как установлено \(h=d\), высота призмы равна \(h=\frac{8\sqrt{5}}{3}\). Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту, то есть \(V=S\cdot h=16\sqrt{5}\cdot \frac{8\sqrt{5}}{3}=\frac{16\cdot 8\cdot 5}{3}=\frac{640}{3}\,\text{см}^{3}\). Таким образом, ключевые шаги: связать угол \(45^\circ\) между плоскостями с равенством \(h=d\), вычислить \(d\) как высоту ромба через диагонали и сторону, а затем умножить на площадь основания для получения объёма призмы \(V=\frac{640}{3}\,\text{см}^{3}\).