ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием наклонного параллелепипеда является ромб, одна из диагоналей которого равна 24 см. Диагональ одной из боковых граней равна \(13\sqrt{3}\) см и перпендикулярна плоскости основания. Угол между боковым ребром параллелепипеда и плоскостью основания равен \(60^\circ\). Найдите объём параллелепипеда.

Дано: диагональ боковой грани перпендикулярна основанию и равна \(13\sqrt{3}\), угол между боковым ребром и основанием \(60^\circ\). Тогда высота параллелепипеда \(H=13\sqrt{3}\), а боковое ребро \(h=\frac{2H}{\sqrt{3}}=26\).

Пусть сторона ромба основания \(a\). Диагональ боковой грани, построенная из \(a\) и \(h\), перпендикулярна основанию, значит её горизонтальная проекция равна нулю, что даёт \(a=h\cos\phi\) с \(\cos\phi=-1\). Тогда длина диагонали: \(\sqrt{a^2+h^2-2ah}=13\sqrt{3}\). При \(h=26\): \(\sqrt{a^2+676-52a}=13\sqrt{3}\Rightarrow a=13\).

Имея диагональ ромба \(d_1=24\) и сторону \(a=13\), находим вторую диагональ: \(\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2=a^2\Rightarrow 12^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2=13^2\Rightarrow d_2=10\).

Площадь основания: \(S=\frac{d_1d_2}{2}=\frac{24\cdot10}{2}=120\). Объём: \(V=SH=120\cdot13\sqrt{3}=1560\sqrt{3}\ \text{см}^3\).

Начнём с связи между диагональю боковой грани и высотой. Диагональ одной боковой грани равна \(13\sqrt{3}\) и перпендикулярна основанию, значит эта диагональ совпадает с высотой параллелепипеда: \(H=13\sqrt{3}\). Угол между боковым ребром и основанием равен \(60^\circ\), следовательно, если обозначить длину бокового ребра через \(h\), то его вертикальная проекция равна \(h\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}h\), а это по условию и есть \(H\). Тогда из равенства \(\frac{\sqrt{3}}{2}h=13\sqrt{3}\) находим \(h=\frac{2\cdot 13\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=26\). Таким образом, высота \(H=13\sqrt{3}\), боковое ребро \(h=26\), и далее нам нужно восстановить параметры основания-ромба.

Рассмотрим одну боковую грань как параллелограмм, порождённый ребром основания длины \(a\) и боковым ребром длины \(h=26\). Диагональ этой грани перпендикулярна основанию, что эквивалентно нулевой горизонтальной проекции этой диагонали. Векторно это означает, что проекция \(h\) на основание направлена противоположно ребру основания, то есть угол \(\phi\) между ребром основания и проекцией бокового ребра равен \(180^\circ\), и потому \(\cos\phi=-1\). Тогда квадрат длины диагонали равен \(a^2+h^2-2ah\). По условию длина диагонали равна \(13\sqrt{3}\), получаем уравнение \(\sqrt{a^2+h^2-2ah}=13\sqrt{3}\). Подставляя \(h=26\), имеем \(\sqrt{a^2+26^2-2\cdot a\cdot 26}=13\sqrt{3}\), то есть \(a^2-52a+676=507\). Переносим и упрощаем: \(a^2-52a+169=0\). Это полный квадрат: \((a-13)^2=0\), откуда \(a=13\). Значит, сторона ромба основания равна \(13\).

Зная в ромбе одну диагональ \(d_1=24\) и сторону \(a=13\), найдём вторую диагональ \(d_2\). Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы пополам, поэтому каждая сторона ромба образует прямоугольный треугольник с половинками диагоналей: \(\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2=a^2\). Подставляем \(d_1=24\) и \(a=13\): \(12^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2=13^2\), откуда \(\left(\frac{d_2}{2}\right)^2=169-144=25\) и \(\frac{d_2}{2}=5\), значит \(d_2=10\). Площадь основания-ромба равна \(S=\frac{d_1d_2}{2}=\frac{24\cdot 10}{2}=120\ \text{см}^2\). Тогда объём параллелепипеда как произведение площади основания на высоту: \(V=S\cdot H=120\cdot 13\sqrt{3}=1560\sqrt{3}\ \text{см}^3\).

Ответ: \(1560\sqrt{3}\ \text{см}^3\).