ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота наклонной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) равна \(6\sqrt{2}\) см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом \(45^\circ\). Площадь грани \(AA_1B_1B\) равна 36 см\(^2\), грани \(AA_1C_1C\) — 48 см\(^2\), а двугранный угол призмы при ребре \(AA_1\) равен \(120^\circ\). Найдите объём призмы.

Высота призмы \(h=6\sqrt{2}\), боковое ребро наклонено к основанию под углом \(45^\circ\), значит горизонтальный сдвиг равен \(h\cot 45^\circ=6\sqrt{2}\).

Пусть в основании стороны, соответствующие граням \(AA_1B_1B\) и \(AA_1C_1C\), имеют длины \(b\) и \(c\). Тогда площади этих боковых граней равны произведениям высоты ребра на соответствующие стороны: \(36=bh\) и \(48=ch\). Отсюда \(b=\frac{36}{6\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\) и \(c=\frac{48}{6\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\).

Двугранный угол при \(AA_1\) равен \(120^\circ\), значит угол между проекциями \(b\) и \(c\) в основании равен \(60^\circ\). Площадь основания равна площади параллелограмма со сторонами \(b\) и \(c\): \(S_{осн}=bc\sin 60^\circ= (3\sqrt{2})(4\sqrt{2})\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}\).

Объём призмы \(V=S_{осн}\cdot h=12\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{2}=72\sqrt{6}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=36\sqrt{3}\).

Ответ: \(36\sqrt{3}\ \text{см}^3\).

Исходные данные: высота призмы \(h=6\sqrt{2}\), боковое ребро наклонено к основанию под углом \(45^\circ\), площади двух боковых граней, прилежащих к ребру \(AA_1\), равны \(36\) и \(48\). При наклоне бокового ребра на угол \(45^\circ\) к основанию горизонтальная проекция этого ребра на плоскость основания равна \(h\cot 45^\circ=6\sqrt{2}\). Рассмотрим боковые грани \(AA_1B_1B\) и \(AA_1C_1C\). Их площади выражаются как произведение длины образующей грани (длины ребра \(AA_1=h\)) на длину соответствующей стороны основания, так как каждая такая грань является параллелограммом с одной стороной \(h\) и другой стороной, равной стороне основания, а угол между ними учитывается в площади параллелограмма самой грани. Поэтому для этих граней имеем соотношения \(36=bh\) и \(48=ch\), где \(b=BB_1\cap\) сторона основания, соответствующая ребру \(BB_1\), а \(c\) — сторона основания, соответствующая ребру \(CC_1\). Подставляя \(h=6\sqrt{2}\), получаем \(b=\frac{36}{6\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\) и \(c=\frac{48}{6\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\). Таким образом, в основании получаем две стороны длиной \(3\sqrt{2}\) и \(4\sqrt{2}\), прилегающие к вершине \(A\).

Далее используем информацию о двугранном угле при ребре \(AA_1\), равном \(120^\circ\). Нормали к граням, примыкающим к ребру \(AA_1\), образуют угол \(120^\circ\), следовательно, линии пересечения этих граней с плоскостью, перпендикулярной к \(AA_1\), образуют дополнительный к нему угол \(60^\circ\). Это эквивалентно тому, что в проекции на основание угол между векторами, соответствующими сторонам основания \(b\) и \(c\), равен \(60^\circ\). Иначе говоря, основание является параллелограммом со сторонами \(b=3\sqrt{2}\) и \(c=4\sqrt{2}\), а угол между ними равен \(60^\circ\). Тогда площадь основания равна площади параллелограмма: \(S_{осн}=bc\sin 60^\circ=(3\sqrt{2})(4\sqrt{2})\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}\). Здесь ключевой момент состоит в том, что ориентация боковых граней относительно ребра \(AA_1\) переносится в угол между соответствующими сторонами основания, а площади боковых граней напрямую дают нам численные значения этих сторон через высоту \(h\).

Наконец, объём призмы равен произведению площади основания на высоту: \(V=S_{осн}\cdot h=12\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{2}=72\sqrt{6}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=36\sqrt{3}\). Получаем итог: \(V=36\sqrt{3}\ \text{см}^{3}\).