ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4 см, 6 см и 9 см. Найдите ребро куба, объём которого равен объёму данного параллелепипеда.

Объём прямоугольного параллелепипеда: \(V=4\cdot6\cdot9=216\ \text{см}^3\).

Пусть ребро куба равно \(a\). Тогда его объём: \(a^3=216\), откуда \(a=\sqrt[3]{216}=6\ \text{см}\).

1) Сначала находим объём прямоугольного параллелепипеда по формуле произведения его измерений. Даны длины рёбер: \(4\ \text{см}\), \(6\ \text{см}\) и \(9\ \text{см}\). Перемножаем: \(V_{\text{п/п}}=4\cdot6\cdot9\). Сначала считаем \(4\cdot6=24\), затем \(24\cdot9=216\). Получаем численное значение объёма в кубических сантиметрах: \(V_{\text{п/п}}=216\ \text{см}^{3}\). Это означает, что любая фигура с таким же объёмом должна занимать тот же трёхмерный объём пространства, равный \(216\ \text{см}^{3}\).

2) Обозначим ребро искомого куба через \(a\). По определению объёма куба, когда все рёбра равны между собой и дорaвниваются \(a\), объём выражается как произведение трёх одинаковых рёбер: \(V_{\text{куба}}=a^{3}\). Мы ищем такое \(a\), при котором объём куба совпадает с объёмом данного прямоугольного параллелепипеда. Поэтому приравниваем объёмы: \(a^{3}=216\). Эта запись прямо отражает требование задачи: куб должен иметь точно такой же объём.

3) Чтобы найти \(a\), извлекаем кубический корень из обеих частей равенства. Число \(216\) разлагается на простые множители: \(216=2^{3}\cdot3^{3}\), поскольку \(216=8\cdot27\). Тогда кубический корень берётся по множителям: \(\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^{3}\cdot3^{3}}=2\cdot3=6\). Следовательно, \(a=\sqrt[3]{216}=6\ \text{см}\). Проверка: \(6^{3}=216\ \text{см}^{3}\), что совпадает с найденным объёмом параллелепипеда, значит искомое ребро определено верно.

Ответ: \(6\ \text{см}\).