ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием наклонного параллелепипеда является квадрат, а каждая его боковая грань — ромб со стороной \(a\) и углом \(60^\circ\). Найдите объём параллелепипеда.

Основание — квадрат со стороной \(b\). Боковая грань — ромб со стороной \(a\) и углом \(60^\circ\). Чтобы боковая грань, содержащая ребро основания, была ромбом, все её стороны равны, значит \(b=a\).

Высота параллелепипеда равна перпендикулярной составляющей бокового ребра: \(h=a\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}a\).

Объём: \(V=S_{\text{осн}}\cdot h=a^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}a^3\).

Основание параллелепипеда является квадратом со стороной \(b\), а каждая боковая грань — ромб со стороной \(a\) и острым углом \(60^\circ\). Рассмотрим грань, содержащую ребро основания: чтобы эта грань была именно ромбом, все её стороны должны быть равны, следовательно, длина ребра основания совпадает с длиной бокового ребра, то есть \(b=a\). Этот вывод ключевой: если бы \(b\neq a\), то грань, натянутая на два соседних ребра \(b\) и \(a\), имела бы стороны разных длин и перестала бы быть ромбом. Таким образом, квадрат в основании и все его ребра имеют длину \(a\), а верхнее основание получено параллельным переносом нижнего с горизонтальным сдвигом, определяемым проекцией бокового ребра, при этом равенство сторон обеспечивает ромбичность каждой боковой грани.

Высота параллелепипеда определяется перпендикулярной составляющей бокового ребра относительно плоскости основания. В каждой боковой грани боковое ребро образует с ребром основания угол \(60^\circ\); разложив вектор бокового ребра длины \(a\) на вертикальную и горизонтальную составляющие, получим, что вертикальная высота равна \(h=a\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}a\), а горизонтальная проекция равна \(a\cos 60^\circ=\frac{a}{2}\). Горизонтальная проекция отвечает за сдвиг верхнего квадрата относительно нижнего, но на объём она не влияет, поскольку объём определяется только площадью основания и высотой. Таким образом, выбор ромбов с углом \(60^\circ\) однозначно фиксирует высоту через синус этого угла, а равенство сторон в ромбе связывает \(b\) с \(a\).

Теперь вычислим объём. Площадь квадратного основания равна \(S_{\text{осн}}=b^{2}\). С учётом установленного равенства \(b=a\) имеем \(S_{\text{осн}}=a^{2}\). Умножая площадь основания на высоту, получаем объём параллелепипеда: \(V=S_{\text{осн}}\cdot h=a^{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}a^{3}\). Ответ выражается только через параметр \(a\), поскольку все геометрические условия — ромбичность боковых граней с углом \(60^\circ\) и квадратное основание — приводят к \(b=a\) и задают высоту через тригонометрическую функцию угла боковой грани.