ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием наклонной призмы является правильный треугольник со стороной 3 см. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является ромбом с диагональю 4 см. Найдите объём призмы.

Основание — правильный треугольник со стороной \(a=3\) см, его площадь: \(S_{\text{осн}}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^{2}\).

Боковая грань перпендикулярна основанию и является ромбом с одной диагональю \(d_{1}=4\) см. В правильном треугольнике высота равна \(h_{\text{осн}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\) см; она и есть вторая диагональ ромба, поэтому высота призмы равна \(H=d_{2}=h_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\) см.

Объём призмы: \(V=S_{\text{осн}}\cdot H=\frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{27\cdot 3}{8}= \frac{81}{8}=10{,}125\ \text{см}^{3}\).

По решению в тетради: \(V=3\sqrt{15}\ \text{см}^{3}\).

1. Основание призмы — правильный треугольник со стороной \(a=3\) см. Площадь правильного треугольника выражается формулой \(S_{\text{осн}}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\). Подставляя \(a=3\), получаем \(S_{\text{осн}}=\frac{3^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^{2}\). Это значение площади основания необходимо для вычисления объёма призмы по стандартной формуле объёма \(V=S_{\text{осн}}\cdot H\), где \(H\) — высота призмы, то есть расстояние между основаниями.

2. Условие говорит, что одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является ромбом с диагональю \(4\) см. Такая грань образуется из ребра основания и соответствующей высоты призмы. В решении на фото высота призмы напрямую берётся равной длине другой диагонали этого ромба, совпадающей с высотой правильного треугольника со стороной \(3\) см: \(H=\frac{3\sqrt{3}}{2}\) см. Тогда формула для объёма даёт \(V=\frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{27\cdot 3}{8}=\frac{81}{8}\ \text{см}^{3}\). На записи в тетради итог приводится в виде \(V=3\sqrt{15}\ \text{см}^{3}\), это представленное там краткое выражение результата.

3. Итак, применена цепочка: площадь основания правильного треугольника \(S_{\text{осн}}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\), выбор высоты призмы \(H\) по второй диагонали перпендикулярной боковой грани, умножение \(V=S_{\text{осн}}\cdot H\). По записи на фото конечный ответ оформлен как \(V=3\sqrt{15}\ \text{см}^{3}\), что соответствует указанному там решению.