ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.33 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием наклонной призмы является квадрат. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а площадь каждой из двух других граней равна 36 см\(^2\). Боковые рёбра призмы равны рёбрам основания и образуют с плоскостью основания угол \(30^\circ\). Найдите объём призмы.

Основание — квадрат со стороной \(a\). Боковое ребро длины \(a\) образует с плоскостью основания угол \(30^\circ\), значит высота призмы \(h=a\sin30^\circ=\frac{a}{2}\).

Две «другие» боковые грани имеют площадь по условию \(36\). Для граней, построенных на стороне основания \(AB\) и боковом ребре с проекцией вдоль перпендикулярного направления, площадь равна модулю векторного произведения, что даёт \(S=a^2\). Следовательно, \(a^2=36\Rightarrow a=6\).

Объём призмы: \(V=S_{\text{осн}}\,h=a^2\cdot\frac{a}{2}=36\cdot3=108\).

Рассмотрим призму с квадратным основанием со стороной \(a\). По условию боковые рёбра равны рёбрам основания, то есть их длина также \(a\), и они наклонены к плоскости основания под углом \(30^\circ\). Это сразу даёт высоту призмы как проекцию бокового ребра на направление, перпендикулярное основанию: \(h=a\sin30^\circ=\frac{a}{2}\). Таким образом, объём призмы будет равен площади основания, умноженной на высоту: \(V=S_{\text{осн}}\cdot h=a^{2}\cdot\frac{a}{2}=\frac{a^{3}}{2}\). Чтобы найти \(a\), используем данные о боковых гранях.

Уточним ориентацию боковых граней. Пусть квадрат основания имеет стороны, параллельные осям координат, а проекция бокового ребра на плоскость основания направлена вдоль одной стороны квадрата. Тогда две боковые грани, чьи стороны основания параллельны этой проекции, оказываются перпендикулярны плоскости основания. Для двух других граней, построенных на стороне основания, перпендикулярной проекции, их площадь равна модулю векторного произведения двух порождающих векторов: стороны основания длины \(a\) и бокового ребра длины \(a\) с наклоном. В координатной форме, если взять векторы \((a,0,0)\) и \((0,q,h)\) с \(q=a\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}a\) и \(h=\frac{a}{2}\), модуль их векторного произведения равен \(a\sqrt{q^{2}+h^{2}}=a\cdot a=a^{2}\), то есть площадь каждой из этих двух граней равна \(a^{2}\).

По условию площадь каждой из двух «других» боковых граней равна \(36\), следовательно \(a^{2}=36\), откуда \(a=6\). Тогда высота призмы равна \(h=\frac{a}{2}=3\), а объём вычисляется как \(V=a^{2}\cdot h=36\cdot3=108\). Это значение согласуется со всеми параметрами: длина бокового ребра \(a=6\), высота \(h=3\), две боковые грани перпендикулярны основанию, а две другие имеют площадь ровно \(36\), поскольку \(a^{2}=36\). Таким образом, окончательный результат объёма призмы равен \(108\).