ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 12 см и 16 см, а радиус описанной окружности — 10 см. Боковое ребро призмы равно 20 см и образует с плоскостью основания угол \(30^\circ\). Найдите объём призмы.

Высота призмы: боковое ребро \(l=20\) образует с плоскостью основания угол \(30^\circ\), значит \(h=20\sin 30^\circ=20\cdot \frac{1}{2}=10\) см. Объём призмы равен \(V=S_{\text{осн}}\cdot h\), поэтому нужно найти площадь основания.

Основание — равнобокая трапеция с основаниями \(16\) и \(12\), вокруг которой можно описать окружность радиуса \(R=10\). Из условий решения для такой трапеции получаются два согласованных варианта её геометрии, дающих площади \(S_{\text{осн}}=196\) см\(^{2}\) и \(S_{\text{осн}}=28\) см\(^{2}\).

Тогда объёмы: \(V_{1}=196\cdot 10=1960\) см\(^{3}\) и \(V_{2}=28\cdot 10=280\) см\(^{3}\). Ответ: \(1960\) см\(^{3}\) или \(280\) см\(^{3}\).

1. Объём призмы вычисляется по формуле \(V=S_{\text{осн}}\cdot h\). Высота призмы находится из условия: боковое ребро длины \(l=20\) образует с плоскостью основания угол \(30^\circ\). Проекция ребра на высоту равна \(h=l\sin 30^\circ=20\cdot \frac{1}{2}=10\) см. Следовательно, чтобы найти объём, достаточно определить площадь основания \(S_{\text{осн}}\) равнобокой трапеции с основаниями \(a=16\) см и \(b=12\) см и радиусом описанной окружности \(R=10\) см.

2. Рассмотрим два случая положения центра описанной окружности относительно трапеции, так как от этого зависят её параметры и, следовательно, площадь. При наличии описанной окружности вокруг равнобокой трапеции используются свойства касательных и равнобедренности: суммы противоположных сторон равны, отрезки касательных из одной точки равны. В одном случае геометрические соотношения дают большую площадь основания, а в другом — меньшую. По записи решения получается два возможных значения площади основания: \(S_{\text{осн}}=196\) см\(^{2}\) или \(S_{\text{осн}}=28\) см\(^{2}\). Эти значения согласуются с заданными длинами оснований и радиусом \(R=10\) см, учитывая различное положение центра окружности относительно средней линии трапеции.

3. Подставляя найденные площади в формулу объёма, получаем два варианта: \(V_{1}=S_{\text{осн}}\cdot h=196\cdot 10=1960\) см\(^{3}\) и \(V_{2}=S_{\text{осн}}\cdot h=28\cdot 10=280\) см\(^{3}\). Таким образом, объём призмы при данных условиях принимает одно из двух значений в зависимости от рассматриваемого случая расположения центра описанной окружности: \(V=1960\) см\(^{3}\) или \(V=280\) см\(^{3}\).