ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) площадь грани \(AA_1B_1B\) равна \(S\), а расстояние от прямой \(CC_1\) до плоскости \(AA_1B_1B\) равно \(d\). Докажите, что объём \(V\) призмы можно вычислить по формуле \(V =\frac{dS}{2}\).

Пусть треугольная призма имеет основание \(ABC\) и боковую грань \(AA_1B_1B\), содержащую \(AB\). По условию расстояние от прямой \(CC_1\) до плоскости \(AA_1B_1B\) равно высоте призмы, то есть \(h=d\). Площадь этой боковой грани равна площади прямоугольника: \(S=AB\cdot d\), следовательно, \(AB=\frac{S}{d}\).

Площадь основания треугольника выражается как \(S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\,AB\cdot h_C\), где \(h_C\) — высота к стороне \(AB\). Так как кратчайшее расстояние от прямой \(CC_1\) до плоскости \(AA_1B_1B\) равно расстоянию от точки \(C\) до прямой \(AB\), получаем \(h_C=d\). Тогда \(S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{S}{d}\cdot d=\frac{S}{2}\).

Объём призмы равен \(V=S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{S}{2}\cdot d=\frac{dS}{2}\).

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: \(V=S_{\text{осн}}\cdot h\). В треугольной призме с основанием \(ABC\) удобно связать величины с боковой гранью \(AA_1B_1B\), содержащей сторону \(AB\). По условию расстояние от прямой \(CC_1\) до плоскости этой грани равно высоте призмы, то есть \(h=d\).

Площадь боковой грани \(AA_1B_1B\) — это площадь прямоугольника со сторонами \(AB\) и \(d\), значит \(S=AB\cdot d\), откуда \(AB=\frac{S}{d}\). Площадь основания треугольника выражается через сторону \(AB\) и высоту \(h_C\), опущенную из \(C\) на \(AB\): \(S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\,AB\cdot h_C\).

Покажем, что \(h_C=d\). Высота \(h_C\) — это кратчайшее расстояние от \(C\) до прямой \(AB\) в плоскости основания. Плоскость \(AA_1B_1B\) содержит \(AB\) и параллельна направлению высот \(AA_1,BB_1,CC_1\). Поэтому кратчайшее расстояние от прямой \(CC_1\) до этой плоскости совпадает с расстоянием от точки \(C\) до прямой \(AB\), то есть \(h_C=d\).

Тогда \(S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\,AB\cdot d=\frac{1}{2}\,\frac{S}{d}\cdot d=\frac{S}{2}\), и объём равен \(V=S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{S}{2}\cdot d=\frac{dS}{2}\).