ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является трапеция \(ABCD\) \((BC \parallel AD)\). Площади граней \(BB_1C_1C\) и \(AA_1D_1D\) соответственно равны \(S_1\) и \(S_2\). Расстояние между плоскостями, содержащими эти грани, равно \(d\). Найдите объём призмы.

Обозначим площадями боковых граней \(BB_1C_1C\) и \(AA_1D_1D\) соответственно \(S_1\) и \(S_2\), а расстояние между их плоскостями — \(d\).

По свойству призмы с основанием-трапецией объём равен произведению площади «среднего» сечения между параллельными боковыми гранями на расстояние между ними: \(V=\left(\frac{S_1+S_2}{2}\right)d\).

Итак, объём призмы: \(V=\frac{(S_1+S_2)d}{2}\).

Рассмотрим призму \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), у которой основание \(ABCD\) — трапеция с \(BC \parallel AD\). Нас интересуют две боковые грани, лежащие в параллельных плоскостях: \(BB_1C_1C\) и \(AA_1D_1D\). Их площади равны \(S_1\) и \(S_2\). Пусть расстояние между плоскостями, содержащими эти грани, равно \(d\). Так как грани параллельны, любой отрезок, перпендикулярный обеим плоскостям, имеет одинаковую длину \(d\), а любое сечение призмы плоскостью, параллельной этим граням, будет подобно им и иметь площадь, линейно зависящую от положения между плоскостями.

Площади параллельных сечений изменяются линейно вдоль перпендикуляра: при одном крае получаем площадь \(S_1\), при другом — \(S_2\), а для промежуточных положений — величины, образующие арифметическую прогрессию по площади. Следовательно, средняя площадь всех таких параллельных сечений равна среднему арифметическому площадей крайних граней. Эта средняя площадь равна \(\frac{S_1+S_2}{2}\). Геометрически это соответствует площади «среднего» сечения, проходящего на половине расстояния между плоскостями, так как линейная зависимость обеспечивает равенство среднему значению.

Объём призмы вычисляется как произведение средней площади параллельного сечения на расстояние между соответствующими плоскостями. Поэтому объём равен \(V=\left(\frac{S_1+S_2}{2}\right)d\). Приведём окончательную запись: \(V=\frac{(S_1+S_2)d}{2}\).