ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.38 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона квадрата \(ABCD\) равна 1 см. К плоскости квадрата проведены перпендикуляры \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) и \(DD_1\), расположенные по одну сторону от этой плоскости. Известно, что \(AA_1 + CC_1 = BB_1 + DD_1 = 10\) см. Найдите объём многогранника \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: \(V=S\cdot h\).

Площадь основания (квадрат со стороной 1 см): \(S=1\).

Высота призмы равна средней длине перпендикуляров к плоскости основания: \(h=\frac{AA_1+BB_1+CC_1+DD_1}{4}=\frac{(AA_1+CC_1)+(BB_1+DD_1)}{4}=\frac{10+10}{4}=5\).

Ответ: \(V=1\cdot 5=5\) см\(^3\).

Рассматриваем призму \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), полученную из квадрата основания \(ABCD\) со стороной \(1\) см путём опускания перпендикуляров \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), \(DD_1\) по одну сторону от плоскости. Объём любой призмы равен произведению площади её основания на высоту. Для наклонной призмы высотой считается длина перпендикуляра между параллельными плоскостями оснований, а при неодинаковых ребрах высота равна средней арифметической длин этих перпендикуляров, так как объём можно представить как интегральную сумму площадей параллельных сечений, где среднее значение высоты даёт тот же объём. Поэтому используем формулу \(V=S\cdot h\), где \(S\) — площадь квадрата, \(h\) — средняя длина перпендикуляров.

Площадь квадрата со стороной \(1\) см равна \(S=1^{2}=1\) см\(^2\). По условию даны суммы противоположных перпендикуляров: \(AA_1+CC_1=10\) см и \(BB_1+DD_1=10\) см. Сложим все четыре длины перпендикуляров: \(AA_1+BB_1+CC_1+DD_1=(AA_1+CC_1)+(BB_1+DD_1)=10+10=\)
\(=20\) см. Тогда средняя арифметическая равна \(h=\frac{AA_1+BB_1+CC_1+DD_1}{4}=\frac{20}{4}=5\) см. Эта величина и есть высота призмы, то есть расстояние между плоскостями \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\), обеспечивающее тот же объём, что и при равномерном распределении высоты.

Подставим найденные значения в формулу объёма. Получаем \(V=S\cdot h=1\cdot 5=5\) см\(^3\). Таким образом, объём многогранника \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равен \(5\) см\(^3\).