ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.39 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дана треугольная призма \(ABCA_1B_1C_1\). Площадь треугольника \(AB_1C\) равна \(S\), а расстояние от точки \(A_1\) до плоскости \(AB_1C\) равно \(h\). Найдите объём призмы.

Объем призмы равен объему «цилиндра» над сечением, перпендикулярным ребрам переноса: применяем параллельный перенос ребер так, чтобы высота призмы стала перпендикулярной плоскости \(AB_1C\).

По формуле объема призмы: \(V=S\cdot h\).

Ответ: \(V=S\cdot h\).

1) Рассмотрим треугольную призму \(ABCA_1B_1C_1\). Пусть сечение плоскостью \(AB_1C\) задаёт треугольник площадью \(S\), а расстояние от точки \(A_1\) до этой плоскости равно \(h\). Так как призма получается параллельным переносом основания вдоль направления, параллельного рёбрам \(AA_1, BB_1, CC_1\), объём призмы равен произведению площади любого её поперечного сечения, перпендикулярного направлению переноса, на длину переноса. Плоскость \(AB_1C\) выбирается именно как такое поперечное сечение: её площадь \(S\) играет роль «площади основания» для вычисления объёма.

2) Расстояние от точки \(A_1\) до плоскости \(AB_1C\) равно \(h\). Поскольку все рёбра переноса параллельны, это расстояние совпадает с высотой призмы, измеренной перпендикулярно к плоскости \(AB_1C\). Для любых двух параллельных плоскостей расстояние между ними постоянно, а для призмы высота одинакова на всём протяжении. Следовательно, длина отрезков, параллельных рёбрам призмы и пересекающих плоскость \(AB_1C\), равна \(h\), то есть именно та величина, которая умножается на площадь выбранного поперечного сечения при вычислении объёма.

3) Итоговое вычисление следует из общей формулы объёма призмы как произведения «площади сечения, перпендикулярного направлению переноса» на «высоту вдоль переноса». Подставляя известные величины, получаем \(V=S\cdot h\). Таким образом, объём треугольной призмы выражается через площадь треугольника \(AB_1C\) и расстояние от \(A_1\) до этой плоскости: \(V=S\cdot h\).