ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Рёбра прямоугольного параллелепипеда пропорциональны числам 2, 3 и 6, а его диагональ равна 14 см. Найдите объём параллелепипеда.

Даны пропорции рёбер: \(a=2x\), \(b=3x\), \(c=6x\). Диагональ: \(d=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=14\).

Из уравнения \(14^{2}=(2x)^{2}+(3x)^{2}+(6x)^{2}\) получаем \(196=4x^{2}+9x^{2}+36x^{2}=49x^{2}\), отсюда \(x^{2}=\frac{196}{49}=4\) и \(x=2\).

Тогда рёбра: \(a=4\), \(b=6\), \(c=12\). Объём: \(V=a\cdot b\cdot c=4\cdot6\cdot12=288\ \text{см}^{3}\).

1) Пусть рёбра прямоугольного параллелепипеда пропорциональны числам \(2\), \(3\) и \(6\). Тогда их реальные длины можно записать через общий коэффициент пропорциональности \(x\): \(a=2x\), \(b=3x\), \(c=6x\). Диагональ прямоугольного параллелепипеда выражается через рёбра по теореме Пифагора в трёхмерном пространстве: \(d=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\). По условию \(d=14\), значит выполняется уравнение \(14^{2}=(2x)^{2}+(3x)^{2}+(6x)^{2}\). Это соотносит известную диагональ со неизвестным масштабом \(x\), одинаково растягивающим каждое ребро в соответствии с заданной пропорцией.

2) Подставим выражения и аккуратно преобразуем квадраты: \(14^{2}=196\), \((2x)^{2}=4x^{2}\), \((3x)^{2}=9x^{2}\), \((6x)^{2}=36x^{2}\). Получаем равенство \(196=4x^{2}+9x^{2}+36x^{2}\). Складывая коэффициенты при \(x^{2}\), имеем \(196=49x^{2}\). Отсюда находим \(x^{2}=\frac{196}{49}=4\), а затем \(x=2\) (берём положительное значение, так как длины рёбер являются положительными величинами). Таким образом, конкретные длины рёбер вычисляются из пропорциональных значений: \(a=2x=4\), \(b=3x=6\), \(c=6x=12\). Эти числа совпадают с полученными в кратком решении и непосредственно соответствуют пропорциям исходной задачи.

3) Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин его рёбер: \(V=a\cdot b\cdot c\). Подставим найденные значения: \(V=4\cdot6\cdot12\). Последовательно перемножая, получаем \(4\cdot6=24\), затем \(24\cdot12=288\). Итак, итоговый объём равен \(V=288\ \text{см}^{3}\). Проверка корректности: если масштаб \(x\) удваивает каждое ребро исходной пропорции, то диагональ, зависящая от квадратичной суммы рёбер, даёт точное совпадение с \(14\), а объём, как произведение трёх рёбер, естественно масштабируется как \(x^{3}\), что подтверждается числом \(288\).