ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.40 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые к катетам, равны \(2\sqrt{73}\) см и \(4\sqrt{13}\) см. Найдите катеты треугольника.

Введём катеты \(a\) и \(b\), гипотенуза \(c=\sqrt{a^2+b^2}\). Формула медианы к стороне \(x\): \(m_x=\frac{1}{2}\sqrt{2y^2+2c^2-x^2}\). По условию \(m_a=2\sqrt{73}\), \(m_b=4\sqrt{13}\), поэтому получаем систему: \(\frac{1}{4}(2b^2+2c^2-a^2)=292\), \(\frac{1}{4}(2a^2+2c^2-b^2)=208\).

С учётом \(c^2=a^2+b^2\) система даёт: \(a^2+4b^2=1168\) и \(4a^2+b^2=832\). Решая, из второго \(b^2=832-4a^2\), подставляем в первое: \(a^2+4(832-4a^2)=1168\Rightarrow -15a^2=-2160\Rightarrow a^2=144\Rightarrow a=12\). Тогда \(b^2=832-4\cdot144=256\Rightarrow b=16\).

Ответ: 16 см, 12 см.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(a\) и \(b\), а гипотенуза \(c=\sqrt{a^2+b^2}\). Медиана к стороне \(x\) в любом треугольнике выражается формулой \(m_x=\frac{1}{2}\sqrt{2y^2+2z^2-x^2}\), где \(y\) и \(z\) — две другие стороны. В нашем случае для медиан к катетам получаем: для медианы к \(a\) имеем \(m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\), для медианы к \(b\) имеем \(m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}\). По условию \(m_a=2\sqrt{73}\) и \(m_b=4\sqrt{13}\), значит квадрат медиан равен соответственно \(m_a^2=4\cdot73=292\) и \(m_b^2=16\cdot13=208\). Тогда составляем систему уравнений: \(\frac{1}{4}(2b^2+2c^2-a^2)=292\) и \(\frac{1}{4}(2a^2+2c^2-b^2)=208\).

Подставим \(c^2=a^2+b^2\) в каждое уравнение и аккуратно упростим. Из первого: \(\frac{1}{4}(2b^2+2(a^2+b^2)-a^2)=292\Rightarrow \frac{1}{4}(a^2+4b^2)=292\Rightarrow a^2+4b^2=1168\). Из второго: \(\frac{1}{4}(2a^2+2(a^2+b^2)-b^2)=208\Rightarrow \frac{1}{4}(4a^2+b^2)=208\Rightarrow 4a^2+b^2=832\). Получили линейную систему относительно \(a^2\) и \(b^2\): \(a^2+4b^2=1168\) и \(4a^2+b^2=832\). Выразим \(b^2\) из второго уравнения: \(b^2=832-4a^2\), подставим в первое: \(a^2+4(832-4a^2)=1168\Rightarrow a^2+3328-16a^2=1168\Rightarrow -15a^2=\)
\(=-2160\Rightarrow a^2=144\Rightarrow a=12\).

Найдём второй катет из выражения \(b^2=832-4a^2\): \(b^2=832-4\cdot144=832-576=256\Rightarrow b=16\).

Ответ: 16 см, 12 см.