ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.41 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) \(AB = BC = 7{,}5\) см, \(AC = 12\) см. Найдите расстояние от вершины \(B\) до ортоцентра треугольника \(ABC\).

Введём координаты: \(A=(-6,0)\), \(C=(6,0)\), \(B=(0,\sqrt{7.5^2-6^2})=(0,4.5)\).
Прямая \(BC\) имеет наклон \(k_{BC}=\frac{0-4.5}{6-0}=-\frac{3}{4}\), значит высота из \(A\) перпендикулярна ей и имеет наклон \(k=\frac{4}{3}\), уравнение: \(y=\frac{4}{3}(x+6)\).
Ортоцентр \(H\) — пересечение этой высоты с высотой из \(B\) (\(x=0\)): \(y=\frac{4}{3}\cdot 6=8\), следовательно \(H=(0,8)\).
Расстояние \(BH=|8-4.5|=3.5\) см.

Пусть треугольник равнобедренный с \(AB=BC=7.5\) и основанием \(AC=12\). Поместим его на координатной плоскости так, чтобы основание лежало на оси \(Ox\): возьмём \(A=(-6,0)\) и \(C=(6,0)\), тогда середина основания в точке \(O=(0,0)\). Высота из вершины \(B\) падает в середину основания, поэтому \(B\) имеет вид \((0,h)\). По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с катетами \(6\) и \(h\) и гипотенузой \(7.5\) получаем \(h=\sqrt{7.5^{2}-6^{2}}=\sqrt{56.25-36}=\sqrt{20.25}=4.5\), значит \(B=(0,4.5)\). Это сразу задаёт высоту из \(B\) как вертикальную прямую \(x=0\).

Чтобы найти ортоцентр \(H\), достаточно пересечь высоту из \(B\) с любой другой высотой, например из \(A\). Для этого найдём наклон стороны \(BC\): она проходит через точки \(B=(0,4.5)\) и \(C=(6,0)\), её угловой коэффициент \(k_{BC}=\frac{0-4.5}{6-0}=-\frac{4.5}{6}=-\frac{3}{4}\). Высота из \(A\) перпендикулярна \(BC\), значит её наклон равен отрицательному обратному, то есть \(k=\frac{4}{3}\). Так как высота из \(A\) проходит через \(A=(-6,0)\), её уравнение удобно записать в точечно-угловой форме: \(y=\frac{4}{3}(x+6)\). Высота из \(B\) имеет уравнение \(x=0\), поэтому ортоцентр \(H\) находится на их пересечении: подставляем \(x=0\) в уравнение высоты из \(A\), получаем \(y=\frac{4}{3}\cdot 6=8\), следовательно, \(H=(0,8)\).

Теперь расстояние от вершины \(B\) до ортоцентра \(H\) вычисляется на той же вертикальной прямой \(x=0\) как разность ординат: \(BH=|8-4.5|=3.5\). Итак, точка ортоцентра в этом равнобедренном треугольнике лежит на оси симметрии выше вершины \(B\) на \(3.5\) см, что согласуется с тем, что для остроугольного треугольника все три высоты пересекаются внутри, а в нашей координатной конфигурации это даёт точку \(H\) с ординатой больше \(4.5\). Ответ: \(3.5\) см.