ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите вместимость сарая с двускатной крышей (рис. 18.9), если длина сарая равна 12 м, ширина — 8 м, высота стен — 3,5 м, а высота конька крыши — 6 м (толщиной стен можно пренебречь).

Сарай — это прямоугольный параллелепипед плюс призма с треугольным сечением крыши. Высота над стенами: \(h=6-3{,}5=2{,}5\ \text{м}\).

Объём стеновой части: \(V_1=12\cdot8\cdot3{,}5=336\ \text{м}^3\). Площадь треугольного сечения крыши: \(S_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot8\cdot2{,}5=10\ \text{м}^2\). Объём крыши: \(V_2=12\cdot10=120\ \text{м}^3\).

Итого: \(V=V_1+V_2=336+120=456\ \text{м}^3\).

Рассмотрим геометрию сарая как сумму двух простых тел. Нижняя часть — прямоугольный параллелепипед с длиной \(12\ \text{м}\), шириной \(8\ \text{м}\) и высотой стен \(3{,}5\ \text{м}\). Его объём равен произведению трёх измерений: \(V_1 = 12\cdot 8\cdot 3{,}5\). Умножая по шагам, получаем \(12\cdot 8 = 96\), затем \(96\cdot 3{,}5 = 336\). Следовательно, объём нижней части сарая равен \(V_1 = 336\ \text{м}^3\). Эта величина описывает полезное пространство до линии карниза, то есть до начала скатов крыши, и она не зависит от формы крыши.

Верхняя часть — двускатная крыша, которую удобно рассматривать как призму с треугольным поперечным сечением, протянутую на всю длину \(12\ \text{м}\). Высота конька над землёй \(6\ \text{м}\), высота стен \(3{,}5\ \text{м}\), значит подъём крыши над уровнем стен равен \(h = 6 — 3{,}5 = 2{,}5\ \text{м}\). Поперечное сечение крыши — равнобедренный треугольник с основанием, совпадающим с шириной сарая \(8\ \text{м}\), и высотой \(2{,}5\ \text{м}\). Площадь такого треугольника равна половине произведения основания на высоту: \(S_{\triangle} = \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 2{,}5 = 10\ \text{м}^2\). Так как крыша — призма, её объём равен произведению площади сечения на длину: \(V_2 = S_{\triangle}\cdot 12 = 10\cdot 12 = 120\ \text{м}^3\).

Полный объём сарая равен сумме объёмов двух частей, поскольку внутреннее пространство непрерывно и толщина стен пренебрежимо мала. Складываем найденные значения: \(V = V_1 + V_2 = 336 + 120 = 456\ \text{м}^3\). Эта величина выражает вместимость сарая: \(456\ \text{м}^3\).