ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основание прямой призмы — ромб со стороной 8 см и углом \(60^\circ\). Меньшая диагональ призмы равна 17 см. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы: \(V=S_{\text{осн}}\cdot h\).

Площадь основания — ромб со стороной \(a=8\) и углом \(60^\circ\): \(S_{\text{осн}}=a^{2}\sin60^\circ=8^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=32\sqrt{3}\ \text{см}^2\).

Меньшая диагональ призмы равна 17 см; это диагональ прямоугольной боковой грани со сторонами \(8\) и \(h\). Тогда \(h=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{289-64}=15\ \text{см}\).

Итог: \(V=32\sqrt{3}\cdot15=480\sqrt{3}\ \text{см}^3\).

Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту: \(V=S_{\text{осн}}\cdot h\). Основание — ромб со стороной \(a=8\) и острым углом \(60^\circ\). Площадь ромба можно найти через сторону и синус угла между сторонами: \(S_{\text{осн}}=a^{2}\sin\alpha\). Подставляем \(a=8\) и \(\alpha=60^\circ\): \(S_{\text{осн}}=8^{2}\cdot\sin 60^\circ=64\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=32\sqrt{3}\ \text{см}^{2}\). Этот результат эквивалентен формуле через половину произведения диагоналей, но здесь её не требуется выводить, потому что сторона и угол уже заданы; использование синуса обеспечивает прямой и быстрый расчёт.

Чтобы найти высоту призмы \(h\), используем информацию о меньшей диагонали призмы. В прямой призме боковые грани — прямоугольники. Меньшей диагональю всей призмы будет диагональ прямоугольной боковой грани, образованной ребром основания длины \(8\) и высотой \(h\); диагональ такой грани короче пространственной диагонали, поэтому она и является «меньшей». По теореме Пифагора для прямоугольника со сторонами \(8\) и \(h\) диагональ равна \(\sqrt{8^{2}+h^{2}}\). По условию она равна \(17\), значит \(\sqrt{8^{2}+h^{2}}=17\), откуда \(8^{2}+h^{2}=17^{2}\), то есть \(64+h^{2}=289\). Следовательно, \(h^{2}=289-64=225\) и \(h=\sqrt{225}=15\ \text{см}\).

Остаётся перемножить площадь основания и высоту: \(V=S_{\text{осн}}\cdot h=32\sqrt{3}\cdot 15\). Умножая число \(32\) на \(15\), получаем \(480\), поэтому \(V=480\sqrt{3}\ \text{см}^{3}\). Размерность кубических сантиметров возникает из произведения квадратных сантиметров площади основания на сантиметры высоты. Итоговый ответ показывает, что объём прямо пропорционален как площади ромба, заданной через сторону и угол, так и высоте, найденной из диагонали боковой грани по теореме Пифагора: \(V=480\sqrt{3}\ \text{см}^{3}\).