ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 18.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основание прямой призмы — равнобокая трапеция с основаниями 5 см и 11 см и диагональю 10 см. Диагональ призмы равна 26 см. Найдите объём призмы.

Пусть диагональ основания равнобокой трапеции равна 10, основания 11 и 5. Тогда полусумма оснований \(m=\frac{11+5}{2}=8\), а высота трапеции из формулы диагонали \(10^2=8^2+h_b^2\), откуда \(h_b=6\). Площадь основания \(S=\frac{11+5}{2}\cdot 6=48\).

Диагональ прямой призмы \(D=26\) связана с диагональю основания \(10\) и высотой призмы \(h\) как \(26^2=10^2+h^2\), откуда \(h=24\).

Объём призмы \(V=S\cdot h=48\cdot 24=1152\ \text{см}^3\).

Начнём с основания призмы — равнобокой трапеции с основаниями 11 и 5 и диагональю 10. В равнобокой трапеции удобно перейти к координатной интерпретации: проекция диагонали на направление оснований равна полусумме оснований, а перпендикулярная проекция равна высоте трапеции. Поэтому вычисляем полусумму оснований \(m=\frac{11+5}{2}=8\). Тогда по теореме Пифагора для диагонали основания имеем \(10^{2}=8^{2}+h_{b}^{2}\), откуда \(h_{b}^{2}=100-64=36\) и, следовательно, \(h_{b}=6\). Это полностью определяет геометрию основания: его площадь равна площади трапеции \(S_{\text{осн}}=\frac{(11+5)}{2}\cdot h_{b}=8\cdot 6=48\).

Далее используем, что призма прямая, а её пространственная диагональ соединяет несоседние вершины, проходя «по диагонали» через основание и вдоль высоты. В прямой призме квадрат пространственной диагонали равен сумме квадратов диагонали основания и высоты призмы: \(D^{2}=d_{\text{осн}}^{2}+h^{2}\). Подставляя численные значения \(D=26\) и \(d_{\text{осн}}=10\), получаем \(26^{2}=10^{2}+h^{2}\), то есть \(676=100+h^{2}\). Отсюда \(h^{2}=576\) и \(h=24\). Таким образом, высота призмы однозначно определяется через известные диагонали без дополнительных построений.

Остаётся найти объём призмы как произведение площади основания на высоту. Подставляя найденные величины, получаем \(V=S_{\text{осн}}\cdot h=48\cdot 24=1152\ \text{см}^{3}\). Итоговая численная проверка согласуется: площадь основания 48 получается из корректной высоты трапеции \(6\), а высота призмы \(24\) следует из стандартной трёхмерной теоремы Пифагора; произведение даёт искомый объём \(1152\ \text{см}^{3}\).