ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(60^\circ\). Найдите объём пирамиды.

Дано: сторона основания \(a = 4\) см, двугранный угол при ребре основания \(\alpha = 60^\circ\).

Площадь основания \(S = a^2 = 4^2 = 16\) см².

Обозначим высоту пирамиды \(SO = h\). По определению двугранного угла:

\(\tan 60^\circ = \frac{SO}{\frac{a}{2}} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{2} \Rightarrow h = 2\sqrt{3}\) см.

Объём пирамиды:

\(V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{32\sqrt{3}}{3}\) см³.

Основание пирамиды представляет собой правильный четырёхугольник со стороной \(a = 4\) см. Площадь такого основания вычисляется по формуле площади квадрата: \(S = a^2\). Подставляя значение стороны, получаем \(S = 4^2 = 16\) см². Это значение площади основания необходимо для вычисления объёма пирамиды, так как объём зависит от площади основания и высоты.

Двугранный угол при ребре основания равен \(60^\circ\). Этот угол образован между боковой гранью и основанием пирамиды. Чтобы найти высоту \(h\) пирамиды, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \(SO\), половиной стороны основания \(\frac{a}{2}\), и ребром основания. Тангенс двугранного угла равен отношению высоты к половине стороны основания: \(\tan 60^\circ = \frac{h}{\frac{a}{2}}\). Подставляя числовые значения, получаем \(\sqrt{3} = \frac{h}{2}\), откуда высота \(h = 2\sqrt{3}\) см.

Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота. Подставляя найденные значения, получаем \(V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{32\sqrt{3}}{3}\) см³. Таким образом, объём пирамиды равен \(\frac{32\sqrt{3}}{3}\) кубических сантиметров.