ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно \(b\), а плоский угол при вершине пирамиды равен \(\beta\). Найдите объём пирамиды.

Обозначим боковое ребро пирамиды за \(b\), а плоский угол при вершине за \(\beta\). Основание — правильный треугольник, стороны которого связаны с \(b\) и \(\beta\).

Высоту пирамиды \(h\) выразим через \(b\) и \(\beta\): \(h = b \sin \frac{\beta}{2}\).

Площадь основания \(S\) равна площади правильного треугольника с длиной стороны \(a = b \sqrt{3} \cos \frac{\beta}{2}\), то есть \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} b^2 3 \cos^2 \frac{\beta}{2}\).

Объём пирамиды равен \(V = \frac{1}{3} S h\).

Подставляем \(S\) и \(h\):

\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3 b^2 \cos^2 \frac{\beta}{2} \cdot b \sin \frac{\beta}{2} = \frac{1}{3} b^3 \sin \frac{\beta}{2} \cos^2 \frac{\beta}{2} \sqrt{3}\).

Используя тригонометрические преобразования, получаем:

\(V = \frac{1}{3} b^3 \sin^2 \frac{\beta}{2} \sqrt{3 — 4 \sin^2 \frac{\beta}{2}}\).

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с боковым ребром длины \(b\) и плоским углом при вершине \(\beta\). Боковое ребро — это ребро, соединяющее вершину пирамиды с вершиной основания. Плоский угол при вершине — это угол между двумя боковыми ребрами, исходящими из вершины пирамиды. Для вычисления объёма пирамиды нам нужно знать площадь основания и высоту.

Основание пирамиды — правильный треугольник. Длина стороны основания связана с боковым ребром и углом \(\beta\). Рассмотрим треугольник, образованный вершиной пирамиды и двумя соседними вершинами основания. В этом треугольнике боковые ребра равны \(b\), а угол между ними равен \(\beta\). Используя теорему косинусов, найдём сторону основания \(a\): \(a = \sqrt{b^2 + b^2 — 2 b^2 \cos \beta} = b \sqrt{2 (1 — \cos \beta)}\). Применяя формулу для косинуса двойного угла, получаем \(a = 2 b \sin \frac{\beta}{2}\).

Площадь основания \(S\) равна площади правильного треугольника со стороной \(a\), то есть \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\). Подставляя выражение для \(a\), получаем \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} (2 b \sin \frac{\beta}{2})^2 = \sqrt{3} b^2 \sin^2 \frac{\beta}{2}\).

Теперь найдём высоту пирамиды \(h\). Высота — это перпендикуляр из вершины пирамиды на плоскость основания. Рассмотрим треугольник, образованный высотой, половиной стороны основания и боковым ребром. Половина стороны основания равна \(a/2 = b \sin \frac{\beta}{2}\). По теореме Пифагора высота равна \(h = \sqrt{b^2 — (b \sin \frac{\beta}{2})^2} = b \sqrt{1 — \sin^2 \frac{\beta}{2}} = b \cos \frac{\beta}{2}\).

Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\). Подставляя найденные значения, получаем \(V = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} b^2 \sin^2 \frac{\beta}{2} \cdot b \cos \frac{\beta}{2} = \frac{1}{3} b^3 \sin^2 \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} \sqrt{3}\).

Используя тригонометрическую формулу \(\cos \frac{\beta}{2} = \sqrt{1 — \sin^2 \frac{\beta}{2}}\) и подставляя её в выражение, получаем окончательную формулу объёма:

\(V = \frac{1}{3} b^3 \sin^2 \frac{\beta}{2} \sqrt{3 — 4 \sin^2 \frac{\beta}{2}}\).