ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно \(b\) и образует со стороной основания угол \(\alpha\). Найдите объём пирамиды.

Боковое ребро \(b\) образует с основанием угол \(\alpha\), значит сторона основания \(a = b \cos \alpha\).

Высота пирамиды \(h = \sqrt{b^2 — a^2} = b \sin \alpha\).

Объём пирамиды равен \(V = \frac{1}{3} a^2 h = \frac{1}{3} (b \cos \alpha)^2 (b \sin \alpha) = \frac{1}{3} b^3 \cos^2 \alpha \sin \alpha\).

Пусть сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна \(a\), а боковое ребро — \(b\). Из условия известно, что боковое ребро образует с стороной основания угол \(\alpha\). Это значит, что угол между отрезком бокового ребра и горизонтальной стороной основания равен \(\alpha\). Проекция бокового ребра на сторону основания равна \(a\), поэтому можно записать \(a = b \cos \alpha\). Это важный шаг, так как позволяет выразить сторону основания через известные величины \(b\) и \(\alpha\).

Высота пирамиды \(h\) — это перпендикуляр из вершины пирамиды на плоскость основания. Она образует прямоугольный треугольник с боковым ребром и проекцией бокового ребра на основание. В этом треугольнике гипотенуза равна \(b\), один катет — \(a = b \cos \alpha\), а второй катет — высота \(h\). По теореме Пифагора высота равна \(h = \sqrt{b^2 — a^2} = \sqrt{b^2 — (b \cos \alpha)^2} = b \sin \alpha\). Таким образом, высота пирамиды выражается через боковое ребро и угол \(\alpha\).

Объём пирамиды с квадратным основанием вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} a^2 h\). Подставляя выражения для \(a\) и \(h\), получаем \(V = \frac{1}{3} (b \cos \alpha)^2 (b \sin \alpha) = \frac{1}{3} b^3 \cos^2 \alpha \sin \alpha\). Эта формула даёт объём пирамиды через боковое ребро и угол между боковым ребром и стороной основания, что полностью решает задачу.