ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами \(3\sqrt{10}\) см, \(3\sqrt{10}\) см и 6 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите объём пирамиды.

Основание — треугольник со сторонами \(3\sqrt{10}\), \(3\sqrt{10}\), 6.

Найдем полупериметр:
\(p = \frac{3\sqrt{10} + 3\sqrt{10} + 6}{2} = 3\sqrt{10} + 3\).

Площадь основания по формуле Герона:
\(S = \sqrt{p(p — 3\sqrt{10})(p — 3\sqrt{10})(p — 6)} = \sqrt{(3\sqrt{10} + 3)(3)(3)(3\sqrt{10} — 3)}\).

Упростим:
\(S = \sqrt{9(3\sqrt{10} + 3)(3\sqrt{10} — 3)} = \sqrt{9 \cdot 9 \cdot (10 — 1)} = 27\) см².

Высота пирамиды \(h = 12\).

Объем пирамиды:
\(V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 12 = 108\) см³.

Основание пирамиды представляет собой треугольник с двумя равными сторонами \(3\sqrt{10}\) и одной стороной 6. Для вычисления площади такого треугольника сначала находим его полупериметр, который обозначается как \(p\). Полупериметр равен половине суммы всех сторон, то есть \(p = \frac{3\sqrt{10} + 3\sqrt{10} + 6}{2} = 3\sqrt{10} + 3\). Это значение будет использоваться в формуле Герона для нахождения площади треугольника.

Далее применяем формулу Герона, которая позволяет найти площадь треугольника по длинам его сторон через полупериметр. Формула выглядит так: \(S = \sqrt{p (p — a) (p — b) (p — c)}\), где \(a, b, c\) — длины сторон треугольника. Подставляем наши значения:
\(S = \sqrt{(3\sqrt{10} + 3) (3\sqrt{10} + 3 — 3\sqrt{10}) (3\sqrt{10} + 3 — 3\sqrt{10}) (3\sqrt{10} + 3 — 6)}\).
Упрощаем скобки: \(S = \sqrt{(3\sqrt{10} + 3) \cdot 3 \cdot 3 \cdot (3\sqrt{10} — 3)}\).

Теперь перемножаем числовые множители: \(S = \sqrt{9 (3\sqrt{10} + 3)(3\sqrt{10} — 3)}\). Внутри корня произведение двух выражений можно представить как разность квадратов: \((3\sqrt{10})^{2} — 3^{2} = 9 \cdot 10 — 9 = 90 — 9 = 81\). Значит, \(S = \sqrt{9 \cdot 81} = \sqrt{729} = 27\). Таким образом, площадь основания равна 27 квадратным сантиметрам.

Высота пирамиды дана и равна 12 см. Объем пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота. Подставляем наши значения: \(V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 12\). Выполняя умножение и деление, получаем \(V = 108\) кубических сантиметров. Это и есть объем данной пирамиды.