ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 24 см и 18 см, а каждое её боковое ребро равно 25 см. Найдите объём пирамиды.

Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 24 см и 18 см. Его площадь \(S = 24 \times 18 = 432\) см².

Длина диагонали основания \(AC = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = 30\) см. Точка \(O\) — середина диагонали, значит \(OC = \frac{30}{2} = 15\) см.

Боковое ребро \(SC = 25\) см. В треугольнике \(SOC\) высота \(SO = \sqrt{SC^2 — OC^2} = \sqrt{25^2 — 15^2} = \sqrt{625 — 225} = 20\) см.

Объём пирамиды \(V = \frac{1}{3} \times S \times SO = \frac{1}{3} \times 432 \times 20 = 2880\) см³.

Основание пирамиды представляет собой прямоугольник с длиной 24 см и шириной 18 см. Чтобы найти площадь основания, нужно перемножить эти стороны: \(S = 24 \times 18 = 432\) см². Эта площадь важна, так как объём пирамиды зависит от площади основания и высоты пирамиды.

Далее определим высоту пирамиды. Для этого сначала найдём длину диагонали основания. Диагональ прямоугольника вычисляется по формуле \(AC = \sqrt{24^2 + 18^2}\). Возводим стороны в квадрат: \(24^2 = 576\), \(18^2 = 324\), складываем и извлекаем корень: \(AC = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30\) см. Точка \(O\) — середина диагонали \(AC\), значит расстояние от \(O\) до \(C\) равно половине диагонали: \(OC = \frac{30}{2} = 15\) см.

Теперь рассмотрим треугольник \(SOC\), где \(S\) — вершина пирамиды, \(O\) — основание высоты, а \(C\) — вершина основания. Известно, что боковое ребро \(SC = 25\) см. Высоту пирамиды \(SO\) найдём из теоремы Пифагора: \(SO = \sqrt{SC^2 — OC^2} = \sqrt{25^2 — 15^2} = \sqrt{625 — 225} = \sqrt{400} = 20\) см. Таким образом, высота пирамиды равна 20 см.

Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} \times S \times SO\), где \(S\) — площадь основания, \(SO\) — высота. Подставляем значения: \(V = \frac{1}{3} \times 432 \times 20 = \frac{8640}{3} = 2880\) см³. Это и есть объём данной пирамиды.